在數學 中，一個李群 G 的伴隨表示 （adjoint representation ）或伴隨作用 （adjoint action ）是 G 在它自身的李代數 上的自然表示。這個表示是群 G 在自身上的共軛 作用 的線性化形式。
設 G 是一個李群 ，
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
李代數 （我們將其等價於 G 中恒同元素 的切空間 T e G ）。利用方程
Ψ
(
g
)
=
Ψ
g
{\displaystyle \Psi (g)=\Psi _{g}}
g 屬於 G ，定義一個映射
Ψ
:
G
→
A
u
t
(
G
)
,
{\displaystyle \Psi :G\to \mathrm {Aut} (G),\,}
這里
A
u
t
(
G
)
{\displaystyle \mathrm {Aut} (G)}
G 的自同構群 而自同構
Ψ
g
{\displaystyle \Psi _{g}}
Ψ
g
(
h
)
=
g
h
g
−
1
{\displaystyle \Psi _{g}(h)=ghg^{-1}\,}
h 屬於 G 。從而 Ψg 微分 是李代數
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
g
A
d
g
:
g
→
g
.
{\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}.\,}
所謂 Adg g
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
線性變換 。映射
A
d
:
G
→
A
u
t
(
g
)
{\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}
將 g 映為 Adg G 的伴隨表示 （adjoint representation ）。這确实是 G 的一個表示因為
A
u
t
(
g
)
{\displaystyle \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}
G
L
(
g
)
{\displaystyle \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}})}
李子群 且如上伴隨映射是李群同態。伴隨表示的維數與群 G 的維數相同。
我們可以由李群 G 的一個表示通過在恒同處取導數變為它的李代數的表示 。取伴隨映射的導數
A
d
:
G
→
A
u
t
(
g
)
,
{\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}),\,}
給出李代數
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
伴隨表示 ：
a
d
:
g
→
D
e
r
(
g
)
.
{\displaystyle \mathrm {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}}).\,}
這里
D
e
r
(
g
)
{\displaystyle \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})}
A
u
t
(
g
)
{\displaystyle \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
導子代數 等同。李代數的伴隨表示與這個代數的結構有基本的聯繫。特別地，我們可以證明
a
d
x
(
y
)
=
[
x
,
y
]
{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y)=[x,y]\,}
對所有
x
,
y
∈
g
{\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}
李代数的伴随表示 。
如果 G 是一個 n 維阿貝爾群 ，G 的伴隨表示是n 維平凡表示 。
如果 G 是一個矩陣李群 （即 GL(n ,C ) 的一個閉子群），則它的李代數是一個以交換子 作李括號的 n ×n 矩陣代數（即
g
l
n
(
C
)
{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )}
g x ) = gxg −1 給出。
如果 G 是 SL2 (R ) （行列式為 1 的 2×2 實矩陣），G 的李代數由跡 0 實 2×2 矩陣組成。這個表示等價於 G 在兩個變量二次型 空間上通過線性替換給出的作用。
下表總結了定義中提到的不同映射的性質
Ψ
:
G
→
A
u
t
(
G
)
{\displaystyle \Psi \colon G\to \mathrm {Aut} (G)\,}
Ψ
g
:
G
→
G
{\displaystyle \Psi _{g}\colon G\to G\,}
李群同態:
Ψ
g
h
=
Ψ
g
Ψ
h
{\displaystyle \Psi _{gh}=\Psi _{g}\Psi _{h}}
李群自同態:
Ψ
g
(
a
b
)
=
Ψ
g
(
a
)
Ψ
g
(
b
)
{\displaystyle \Psi _{g}(ab)=\Psi _{g}(a)\Psi _{g}(b)}
(
Ψ
g
)
−
1
=
Ψ
g
−
1
{\displaystyle (\Psi _{g})^{-1}=\Psi _{g^{-1}}}
A
d
:
G
→
A
u
t
(
g
)
{\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}
A
d
g
:
g
→
g
{\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}
李群同態:
A
d
g
h
=
A
d
g
A
d
h
{\displaystyle \mathrm {Ad} _{gh}=\mathrm {Ad} _{g}\mathrm {Ad} _{h}}
李代數自同態:
A
d
g
{\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}}
(
A
d
g
)
−
1
=
A
d
g
−
1
{\displaystyle (\mathrm {Ad} _{g})^{-1}=\mathrm {Ad} _{g^{-1}}}
A
d
g
[
x
,
y
]
=
[
A
d
g
(
x
)
,
A
d
g
(
y
)
]
{\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}[x,y]=[\mathrm {Ad} _{g}(x),\mathrm {Ad} _{g}(y)]}
a
d
:
g
→
D
e
r
(
g
)
{\displaystyle \mathrm {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})}
a
d
x
:
g
→
g
{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}
李代數同態:
a
d
{\displaystyle \mathrm {ad} }
a
d
[
x
,
y
]
=
[
a
d
x
,
a
d
y
]
{\displaystyle \mathrm {ad} _{[x,y]}=[\mathrm {ad} _{x},\mathrm {ad} _{y}]}
李代數導子:
a
d
x
{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}}
a
d
x
[
y
,
z
]
=
[
a
d
x
(
y
)
,
z
]
+
[
y
,
a
d
x
(
z
)
]
{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}[y,z]=[\mathrm {ad} _{x}(y),z]+[y,\mathrm {ad} _{x}(z)]}
G 在伴隨映射下的像 記為 AdG G 連通 ，則伴隨表示的核 與 Ψ 的核相同，就是 G 的中心 。從而，如果 G 中心平凡，則連通李群 G 的伴隨表示是忠實 的。進一步，如果 G 不連通，伴隨映射的核是 G 的單位分支 G 0 的中心化子 。由第一同構定理 我們有
A
d
G
≅
G
/
C
G
(
G
0
)
.
{\displaystyle \mathrm {Ad} _{G}\cong G/C_{G}(G_{0}).\,}
如果 G 半單 ，伴随表示的非零权 组成一个根系 。为了说明这是怎么回事，考虑特例 G =SLn R )。
我们可取对角矩阵 diag(t 1 ,...,t n G 的极大环面 T 。用 T 中元素的共轭作用为
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
]
↦
[
a
11
t
1
t
2
−
1
a
12
⋯
t
1
t
n
−
1
a
1
n
t
2
t
1
−
1
a
21
a
22
⋯
t
2
t
n
−
1
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
t
n
t
1
−
1
a
n
1
t
n
t
2
−
1
a
n
2
⋯
a
n
n
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a_{11}&t_{1}t_{2}^{-1}a_{12}&\cdots &t_{1}t_{n}^{-1}a_{1n}\\t_{2}t_{1}^{-1}a_{21}&a_{22}&\cdots &t_{2}t_{n}^{-1}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{n}t_{1}^{-1}a_{n1}&t_{n}t_{2}^{-1}a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}.}
从而 T 在 G 的李代数的对角部分上的作用平凡，在非对角元素上有本征向量 t i t j -1 。G 的根是权
diag(t 1 ,...,t n t i t j -1 。这是 G =SLn R ) 的根系作为e i e j
伴随表示也能对任何域上的代数群 定义。
餘伴随表示 （co-adjoint representation ）是伴随表示的逆步表示 。亚历山大·卡里洛夫 （Alexandre Kirillov ）观察到任何向量在餘伴随表示中的轨道 是一个辛流形 。按照表示论 中称之为轨道方法 的哲学（另见卡里洛夫特征标公式 （Kirillov character formula ）），一个李群 G 的不可约表示应该以某种方式用其余伴随表示标记。这种关系在幂零李群 时最密切。
Fulton, William ; Harris, Joe , Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics 129 , New York: Springer-Verlag , 1991, ISBN 978-0-387-97495-8MR 1153249 , ISBN 978-0-387-97527-6 Hall, Brian C., Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics 222 , Springer-Verlag ( reprinted by World Publishing Corporation, Beijing), 2004, ISBN 978-7-5062-8297-0 
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y)=[x,y]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c2c3163e2fc6e4dbfb7b63b1ce6f2af936b47d1)
![{\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}[x,y]=[\mathrm {Ad} _{g}(x),\mathrm {Ad} _{g}(y)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5175a202fda810ea68d98af9b0060fc867345ec)
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{[x,y]}=[\mathrm {ad} _{x},\mathrm {ad} _{y}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0e1b8b6ed9c2ebf23cc2720cf4a8845d957ee1c)
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}[y,z]=[\mathrm {ad} _{x}(y),z]+[y,\mathrm {ad} _{x}(z)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad559aa8203cee6578f813d5f93bf3c60c1cca2)
