克莱因-戈尔登方程

克莱因-戈尔登方程式(Klein-Gordon equation)是相对论量子力学量子场论中的最基本方程式,它是薛定谔方程式狭义相对论形式,用于描述自旋为零的粒子。克莱因-戈尔登方程式是由瑞典理论物理学家奥斯卡·克莱因德国人沃尔特·戈尔登于二十世纪二三十年代分别独立推导得出的。

陳述

克莱因-戈尔登方程為

 

很多時候會用自然單位c=ħ=1)寫成

 

由於平面波為此方程已知的一組解,所以方程形式由它決定:

 

遵從狹義相對論的能量動量關係式

 

跟薛定諤方式不同,每一個k在此都對應着兩個 ,只有通過把頻率的正負部份分開,才能讓方程描述到整個相對論形式的波函數。若方程在時間流逝下不變,則其形式為

 

相对论量子力学下的形式推导

自由粒子的薛定谔方程式是非相对论量子力学的最基本方程式:

 

其中 动量算符。

薛定谔方程式并非相对论协变的,意味着它不满足爱因斯坦狭义相对论

利用狭义相对论中的相对论能量公式   替换薛定谔方程左边的动能 项,最终可得它的协变形式:

 

其中 达朗贝尔算符 .

从相对论量子力学的观点来看,达朗贝尔算符的出现意味着克莱因-戈尔登方程式是一个量子力学的波方程

量子场论下的形式推导

场论中,对于自旋为零的场(标量场),拉格朗日量被写成

 

这里依照量子场论的习惯选取了自然单位,将光速 和普朗克常数 都取作1。

代入欧拉-拉格朗日方程 可直接得到克莱因-戈尔登方程。

从量子场论的观点来看,以上推导过程都在经典场论的范围之内,因此克莱因-戈尔登方程式只是一个经典场的场方程式

自由粒子解

相对论量子力学中自由粒子只是一个理想化的概念,但形如克莱因-戈尔登方程式这样的波方程仍然具有形式上的平面波解:

 

其中 

从克莱因-戈尔登方程式得出的能量本征值

 

因而克莱因-戈尔登方程式的解包含了负能量。同时,由这个解导出相应的概率密度也不能保证是正值。这两个问题使得克莱因-戈尔登方程在很长一段时间里被认为是缺乏物理意义的。英国物理学家保罗·狄拉克为了确保概率密度具有物理意义建立了狄拉克方程,但这个方程仍然没有避免出现负能量。

行波解

克莱因-戈尔登方程有行波解[1]

参见

参考资料

  1. ^ 83.Inna Shingareva, Carlos Lizárraga-Celaya,Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple p64-72 Springer

參考文獻