全序关系

全序关系，也称为线性顺序（英語：Total order, linear order）即集合$X$上的反对称的、传递的和完全的二元关系（一般称其为$\leq$）。

若$X$满足全序关系，则下列陈述对于$X$中的所有$a,b$和$c$成立：

• 反对称性：若$a\leq b$且$b\leq a$则$a=b$
• 传递性：若$a\leq b$且$b\leq c$则$a\leq c$
• 完全性：$a\leq b$或$b\leq a$

满足全序关系的集合叫做全序集合、线性序集合、简单序集合或链。 链还常用来描述偏序集合的全序子集。

全序关系的完全性可以如下这样描述：集合中的任何一对元素都是可相互比较的。

注意完全性条件蕴涵了自反性：$a\leq a$，因此全序关系也是（满足“完全性”条件的）偏序关系。

严格全序

对于每一（非严格）全序关系≤都有一关联的非对称的严格全序关系<，它可以用以下两种等价的方式定义：

• $a<b$当且仅当$a\leq b$且$a\neq b$
• $a<b$当且仅当$\neg (b\leq a)$（即$>$为$\leq$的逆补关系）

性质：

• 传递性：$a<b$且$b<c$蕴涵$a<c$。
• 三分性：$a<b$, $b<a$和$a=b$中有且仅有一个成立。
• 弱序性：其中关联的等价是相等的。

我们可以通过指定$<$为三分二元关系，用这两种等阶的方式来定义全序$\leq$：

• $a\leq b$当且仅当$a<b$或$a=b$
• $a\leq b$当且仅当$\neg (b<a)$

另两个关联的关系是补关系$\geq$和$>$，它们构成了四元组$\{<,>,\leq ,\geq \}$。

我们可以用这四个关系中的任何一个来定义全序集，符号指明了全序集的严格性。

例子

• 字典序的字母表，比如$A<B<C$等等。
• 全序集的任何保持原次序不变的子集。
• 满足完全性的偏序集。
• 基数或序数集（严格地说，它们都是良序集）。
• 若$X$为任何集合，$f$为$X$到一全序集的单射，则$f$诱导$X$为$x_{1}<x_{2}$当且仅当$f(x_{1})<f(x_{2})$的全序集。
• 有序数的全序集的直积的字典序是全序的，例如按字典序排序的任何单词表——长为$n$的单词可视为字母表集合的直积自乘$n$次所得结果集合中的元素。
• 拥有小于（$<$）和大于关系（$>$）的实数集是全序的，因此其子集（自然数集、整数集、有理数集等）均为全序集。
  • 自然数集是最小的无上界全序集。
  • 整数集是最小的无界全序集。
  • 有理数集是最小的无界稠密全序集。
  • 实数集是最小的无界连通全序集。

参见

• 二元关系
• 偏序关系

引用

• George Grätzer (1971). Lattice theory: first concepts and distributive lattices. W. H. Freeman and Co. ISBN 0-7167-0442-0
• John G. Hocking and Gail S. Young (1961). Topology. Corrected reprint, Dover, 1988. ISBN 0-486-65676-4