切线法

切线法是利用切线构造不等式的方法，有时会结合延森不等式。

切线法是属于试探性的方法，但使用范围比延森不等式更广，例如半凹半凸的函数$x^{2}+2{\sqrt {x}}$不能使用延森不等式，但能使用切线法。

常规方法

对于$x_{1},x_{2},...,x_{n}\in D,x_{1}+x_{2}+...+x_{n}=k$，D为给定区间，k为常数，求证$f(x_{1})+f(x_{2})+...+f(x_{n})\leq (\geq )C$

观察得取等条件为$x_{1}=x_{2}=...=x_{n}={\frac {k}{n}}$时，找出$f(x)$在$x={\frac {k}{n}}$处的切线函数$px+q$（假设f可导），尝试证明局部不等式$f(x)\leq (\geq )px+q$。

例子

已知$a,b,c\geq 0,a+b+c=1$，求证${\sqrt {4a+1}}+{\sqrt {4b+1}}+{\sqrt {4c+1}}\leq {\sqrt {21}}$

猜得$a=b=c={\frac {1}{3}}$时取等，构造切线使${\sqrt {4a+1}}\leq pa+q$让${\sqrt {4a+1}}+{\sqrt {4b+1}}+{\sqrt {4c+1}}\leq {\sqrt {21}}$成立。

${\sqrt {4a+1}}={\sqrt {\frac {7}{3}}}$

$({\sqrt {4a+1}})'={\frac {2}{\sqrt {4a+1}}}=2{\sqrt {\frac {3}{7}}}$

所求切线为$2{\sqrt {\frac {3}{7}}}(a-{\frac {1}{3}})+{\sqrt {\frac {7}{3}}}$

$(2{\sqrt {\frac {3}{7}}}(a-{\frac {1}{3}})+{\sqrt {\frac {7}{3}}})^{2}-(4a+1)={\frac {4}{21}}(3a-1)^{2}\geq 0$证得${\sqrt {4a+1}}\leq 2{\sqrt {\frac {3}{7}}}(a-{\frac {1}{3}})+{\sqrt {\frac {7}{3}}}$

${\sqrt {4a+1}}+{\sqrt {4b+1}}+{\sqrt {4c+1}}\leq 2{\sqrt {\frac {3}{7}}}(a+b+c-1)+3{\sqrt {\frac {7}{3}}}={\sqrt {21}}$