努梅罗夫方法

努梅罗夫方法属于四阶线性多步法，用于求解不出现一阶微分项的二阶常微分方程。努梅罗夫方法属于隐式方法，但如果微分方程线性，则可转化为显式方法。该方法由 俄国天文学家Boris Vasil'evich Numerov提出。

方法

可由努梅罗夫方法求解的微分方程形式为

$\left({\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+f(x)\right)y(x)=0$

求出函数 $y(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上等距格点上的值，从连续的两个格点上的函数值 $x_{n-1}$ 和 $x_{n}$ 开始，其他的函数值可由

$y_{n+1}={\frac {\left(2-{\frac {5h^{2}}{6}}f_{n}\right)y_{n}-\left(1+{\frac {h^{2}}{12}}f_{n-1}\right)y_{n-1}}{1+{\frac {h^{2}}{12}}f_{n+1}}}$

算得。

其中， $f_{n}=f(x_{n})$ 和 $y_{n}=y(x_{n})$ 为在格点 $x_{n}$ 上的函数值，$h=x_{n}-x_{n-1}$为格点间距。

对于非线性方程，

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y=f(t,y)$

则非线性方程的努梅罗夫方法为

$y_{n+1}=2y_{n}-y_{n-1}+{\tfrac {1}{12}}h^{2}(f_{n+1}+10f_{n}+f_{n-1}).$

该式为隐式的线性多步方法。当 $f$ 是 $y$ 的线性函数时，该式变为显式方法，精度为4阶(Hairer, Nørsett & Wanner 1993，§III.10)。

应用

在物理中用于数值求解任意势场中径向薛定谔方程：

$\left[-{\hbar ^{2} \over 2\mu }\left({\frac {1}{r}}{\partial ^{2} \over \partial r^{2}}r-{l(l+1) \over r^{2}}\right)+V(r)\right]R(r)=ER(r)$

此式可重写为

$\left[{\partial ^{2} \over \partial r^{2}}-{l(l+1) \over r^{2}}+{2\mu \over \hbar ^{2}}\left(E-V(r)\right)\right]u(r)=0$

其中 $u(r)=rR(r)$. 与Numerov方法求解的方程形式做比较，

$f(x)={\frac {2\mu }{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)-{\frac {l(l+1)}{x^{2}}}$

这样，我们可以数值求解薛定谔方程。

推导

从 $y(x_{n})$ 的泰勒展开开始， 我们可求 $x_{n}$ 的相接邻点上的函数值

$y_{n+1}=y(x_{n}+h)=y(x_{n})+hy'(x_{n})+{\frac {h^{2}}{2!}}y''(x_{n})+{\frac {h^{3}}{3!}}y'''(x_{n})+{\frac {h^{4}}{4!}}y''''(x_{n})+{\frac {h^{5}}{5!}}y'''''(x_{n})+{\mathcal {O}}(h^{6})$

$y_{n-1}=y(x_{n}-h)=y(x_{n})-hy'(x_{n})+{\frac {h^{2}}{2!}}y''(x_{n})-{\frac {h^{3}}{3!}}y'''(x_{n})+{\frac {h^{4}}{4!}}y''''(x_{n})-{\frac {h^{5}}{5!}}y'''''(x_{n})+{\mathcal {O}}(h^{6})$

上两式之和为

$y_{n-1}+y_{n+1}=2y_{n}+{h^{2}}y''_{n}+{\frac {h^{4}}{12}}y''''_{n}+{\mathcal {O}}(h^{6})$

用所求微分方程的定义式 $y''_{n}=-f_{n}y_{n}$ 替换掉 $y''_{n}$，

$h^{2}f_{n}y_{n}=2y_{n}-y_{n-1}-y_{n+1}+{\frac {h^{4}}{12}}y''''_{n}+{\mathcal {O}}(h^{6})$

对所求微分方程的定义式 $y''_{n}=-f_{n}y_{n}$ 取二次微分

$y''''(x)=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left[f(x)y(x)\right]$

将其代入到四阶微分项中，并把二阶导 ${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left[f(x)y(x)\right]$ 替换为 $f_{n}y_{n}$ 的二阶差分公式 ${\frac {f_{n-1}y_{n-1}-2f_{n}y_{n}+f_{n+1}y_{n+1}}{h^{2}}}$

$h^{2}f_{n}y_{n}=2y_{n}-y_{n-1}-y_{n+1}-{\frac {h^{4}}{12}}{\frac {f_{n-1}y_{n-1}-2f_{n}y_{n}+f_{n+1}y_{n+1}}{h^{2}}}+{\mathcal {O}}(h^{6})$

求解 $y_{n+1}$ 可得

$y_{n+1}={\frac {\left(2-{\frac {5h^{2}}{6}}f_{n}\right)y_{n}-\left(1+{\frac {h^{2}}{12}}f_{n-1}\right)y_{n-1}}{1+{\frac {h^{2}}{12}}f_{n+1}}}+{\mathcal {O}}(h^{6}).$

忽略掉 ${\mathcal {O}}(h^{6})$ 就可以得到努梅罗夫方法，最终收敛阶数为4(假定稳定)。

参考文献

• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard, Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1993, ISBN 978-3-540-56670-0 .
  This book includes the following references:
  • Numerov, Boris Vasil'evich, A method of extrapolation of perturbations, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 1924, 84: 592–601 .
  • Numerov, Boris Vasil'evich, Note on the numerical integration of d²x/dt² = f(x,t), Astronomische Nachrichten, 1927, 230: 359–364 .

外部链接

• Lecture notes: Computerphysik und Numerik （页面存档备份，存于互联网档案馆） - by Jan Krieger
• Lecture notes of Werner Scholz - At Vienna University of Technology
• Lecture notes of Alexander Wagner （页面存档备份，存于互联网档案馆）