卢津定理

卢津（Лузин）定理是实分析的定理。約略來說，這定理指可測函數差不多是連續函數。

定理敘述

一維形式

設$f:[a,b]\to \mathbb {C}$是可測函數，對任何$\epsilon >0$，都存在緊緻集$E\subset [a,b]$，使得$\lambda ([a,b]\setminus E)<\epsilon$，而且f限制到E上是連續函數。此處$\lambda$是勒貝格測度。

證明

因為f可測，所以在一個測度任意小的開集以外，f是有界函數。在開集上重定義f為0，那麼f在[a,b]上有界，因而是可積函數。因為連續函數在可積函數的空間$\mathrm {L} ^{1}([a,b])$中稠密，存在連續函數序列$g_{i}$依L¹範數收斂至f，即$\int _{a}^{b}\left|g_{i}-f\right|\to 0$。故此有子序列$g_{i_{k}}$幾乎處處收斂至f。從葉戈羅夫定理可知，除了一個測度任意小的開集外，$g_{i_{k}}$一致收斂至f。因為連續函數的一致收斂極限仍是連續的，故此f在此開集外連續。取E為以上兩個開集的並集在[a,b]中的補集，那麼原本的f在E上連續。

多維形式

設$\mu$是$\mathbb {R} ^{n}$上的正則博雷爾測度，$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$是$\mu$可測函數。X是$\mathbb {R} ^{n}$中的$\mu$可測集，而且$\mu (X)<\infty$，那麼對任意$\epsilon >0$，X中存在緊緻集K，使得$\mu (X\backslash K)<\epsilon$，而且f限制到K上是連續函數。

證明

首先，對每個正整數i，構造緊緻集$K_{i}$和在其上的連續函數$g_{i}$，使得

$\mu (X\setminus K_{i})<\epsilon /2^{i}$

且在$K_{i}$上有

$\left|f(x)-g_{i}(x)\right|<1/i$

構造方法如下：

將$\mathbb {R} ^{m}$分成兩兩不交的博雷爾集$(Y_{ij})_{j=1}^{\infty }$，使得每個集的直徑都小於1/i。函數f可測，所以每個集的原像$f^{-1}(Y_{ij})$是可測集。令$X_{ij}=X\cap f^{-1}(Y_{ij})$，則$X_{ij}$將X分成兩兩不交的可測集。

由於$\mu$是博雷爾正則測度，且$\mu (X)<\infty$，於是$\mu$限制到X上是拉東測度。由拉東測度的內正則性，在$X_{ij}$中存在緊緻子集$K_{ij}$，使得

$\mu (X_{ij}\setminus K_{ij})<\epsilon /2^{i+j}$

所以全部子集$X_{ij}\setminus K_{ij}$的不交並集的測度

$\mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{\infty }K_{ij})<\epsilon /2^{i}$

因為$\mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{\infty }K_{ij})=\lim _{n\to \infty }\mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{n}K_{ij})$，可以取足夠大的N使得

$\mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{N}K_{ij})<\epsilon /2^{i}$

令$K_{i}=\bigcap _{j=1}^{N}K_{ij}$。有限個緊緻集的並集是緊緻集，所以$K_{i}$緊緻。因此$K_{i}$滿足要求。

對j=1,..., N，在$Y_{ij}$中任取一點$y_{ij}$，並在$K_{ij}$上定義$g_{i}(x)=y_{ij}$。

因為在$K_{ij}$上，f的值包含在$Y_{ij}$中，故此f和$g_{i}$相差小於1/i。而$K_{ij}$是兩兩不交的緊緻集，故兩兩間的距離都是正數，所以$g_{i}$在$K_{i}$上是連續函數。因此$g_{i}$滿足要求。

取$K=\bigcap _{i=1}^{\infty }K_{i}$，K是緊緻集，並有

$\mu (X\setminus K)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (X\setminus K_{i})<\epsilon$

函數列$g_{i}$在K上一致收斂到f。一致收斂保持函數的連續性，所以f在K上連續。

參考

• Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure theory and fine properties of functions. CRC Press.