雙極圓柱坐標系

(重定向自双极圆柱坐标系

雙極圓柱坐標系(英語:Bipolar cylindrical coordinates)是一種三維正交坐標系。往 z-軸方向延伸二維的雙極坐標系 ,則可得到雙極圓柱坐標系。雙極坐標系的兩個焦點 ,其直角坐標 分別設定為 。延伸至三維空間,這兩個焦點分別變成兩條直線, ,稱為焦線

雙極坐標系繪圖。圖中的紅色圓圈是 -等值曲線,藍色圓圈則是 -等值曲線。

基本定義

雙極圓柱坐標   通常定義為

 
 
 

其中,點    坐標等於   的弧度,  坐標等於    的比例的自然對數

 

注意到焦線    的坐標分別為   

坐標曲面

 
雙極坐標的幾何詮釋。    的夾角   的弧度是     的比例的自然對數    的等值曲線都是圓圈,分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交(以洋紅色表示)。

不同  坐標曲面是一組不同圓心線,而相交於兩個焦線    的圓柱面:

 

它們的圓心線都包含於 yz-平面。正值   的圓柱面的圓心線都在   半空間;而負值   的圓柱面的圓心線則在   半空間。當絕對值   增加時,圓半徑會減小,圓心線會靠近原點。當圓心線包含原點時,  達到最大值  

不同  坐標曲面是一組圍著焦線,互不相交,不同半徑的圓柱面。半徑為

 

它們的圓心線都包含於 xz-平面。正值   的圓柱面在   半空間;而負值   的圓柱面在   半空間。   平面則與 yz-平面同平面。當   值增加時,圓柱面的半徑會減少,圓心線會靠近焦點。

逆變換

 
 

雙極圓柱坐標   可以用直角坐標   來表示。點 P 與兩個焦線之間的距離是

 
 

    的比例的自然對數

 

  是兩條從點 P 到兩個焦點的線段    的夾角。這夾角的弧度是   。用餘弦定理來計算:

 

z-坐標的公式不變:

 

標度因子

雙極圓柱坐標    的標度因子相等;而   的標度因子是 1 :

 
 

所以,無窮小體積元素等於

 

拉普拉斯算子

 

其它微分算子,例如    ,都可以用雙極圓柱坐標表達,只需要將標度因子代入正交坐標系的一般方程式內。

應用

雙極圓柱坐標有一個經典的應用,這是在解析像拉普拉斯方程亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏,雙極圓柱坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是,有兩個互相平行的圓柱導體,請問其周圍的電場為什麼?應用雙極圓柱坐標,我們可以精緻地分析這例題。

參閱

參考文獻

  • Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 187–190. 
  • Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182. ASIN B0000CKZX7. 
  • Moon P, Spencer DE. Conical Coordinates (r, θ, λ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: unknown. ISBN 978-0387184302.