反證法

论证法
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反证法[1](英語:proof by contradiction)又称背理法,是一种论证方式,他首先假设某命题成立(即在原命题的条件下,结论不成立),然后推理出明显矛盾的结果,从而下结论说原假设不成立,原命题得证。

反证法与归谬法相似,但归谬法不仅包括推理出矛盾结果,也包括推理出不符事实的结果或显然荒谬不可信的结果。

理據

給出命題   和命題  (非  ),根據排中律,兩者之中起碼有一個是真(更強的說法為,除了真和假之外並無其他的情況),所以如果其中一個是假的,另一個就必然是真。給出命題   和命題  (非  ),根據無矛盾律,兩者同時為真的情況為假。給出命題   ,根據否定後件律,如果若   成立時出現  ,則   為假時   即為假。反證法在要證明   時,透過顯示出若   成立時出現矛盾(  ),即   為假,從而證明   為真。

例子

 无理数的证明(古希腊人)

证明:假设 有理数,那么可以写成   的形式,其中    皆為正整數且    互质。那么有

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可得  是偶数。而只有偶数的平方才是偶数,所以   也是偶数。因此可设  ,從而  ,代入上式,得: 。所以  也是偶數,故可得   也是偶数。这样    都是偶数,不互质,这与假设    互质矛盾,假设不成立。因此 为无理数。

其他可用反證法證明的例子

數學上有許多的定理可用反證法來證明,以下是一小部分的例子:

  1. 证明有无限多个质数。
  2. 任意6人当中,求证或者有3人两两相识,或者有3人互不相识。
  3. 现有90张纸,每张纸都写有一个非负整数,已知这90个数之和小于1980,证明至少有三张数目相同的纸。
  4. 集合   没有最小值。
  5.   是大于1的整数,若所有小于或等于 的质数都不能整除  ,则   是质数。
  6. 已知三角形ABC是锐角三角形,且 。求证: 
  7. 已知    为正实数,求证: 
  8. 已知      是实数,且 ,求证: 
  9. 一個群若同時是交換群單群,則該群是循環群
  10. 若一個循環群是單群,則該群的階為質數
  11. 若一個循環群的階為質數,則該群為單群
  12. 鴿籠原理

引文

相關條目

参考

進一步閱讀

  • J. Franklin and A. Daoud, Proof in Mathematics: An Introduction, Quakers Hill Press, 1996, ch. 6