吉巴德-萨特斯维特定理

在社会选择理论中吉巴德-萨特斯维特定理(英語:Gibbard–Satterthwaite theorem)是哲学家艾伦·吉巴德于1973年[1]以及经济学家马克·萨特斯维特于1975年分别发表的研究成果。[2]这是处理关于排序投票时用到的定理,这个定理指出,对于任何一个投票规则,必须满足以下三点中的一种:

  1. 规则必须是独裁的,存在一个参与者能够决定最终的结果
  2. 只存在两种选择
  3. 会遇到策略性投票,导致选民无法更好的表达自己的观点

虽然吉巴德-萨特斯维特定理只适用于排序投票,但是吉巴德定理更具有普适性,因为后者还能用于处理非排序投票的集体决策问题。

非正式叙述

假设三个名为爱丽丝、鲍勃和卡罗尔的选民,他们希望从名为    的四名候选人中选出一名获胜者。假设他们使用 波达计数法,每个选民都表示其对候选人的偏好顺序。 每张选票的第一名得3分,第二名得2分,第三名得1分,最后一名得0分。一旦所有选票都被清点完毕,得分最高的候选人将被宣布为获胜者。

假设他们的偏好如下:

投票人 第一名 第二名 第三名 第四名
爱丽丝        
鲍勃        
卡罗尔        

如果所有的投票人都诚实的给出了自己心目中的排序,这些候选人的最终得分将会为 ,候选人 将会以7分当选。

投票人 第一名 第二名 第三名 第四名
爱丽丝        
鲍勃        
卡罗尔        

可是如果爱丽丝选择了策略性投票,提升了 的顺序,降低了 的顺序,那么最终分数将会成为 ,这样候选人 将会以7票当选。对于爱丽丝而言,由于她对于 而言更倾向于 ,因此这是一个比之前更好的结果。

由此可以看出,波达计数法是可操纵的,在某些情况下,诚实的给出排序并不能最好地捍卫选民的偏好。

吉巴德-萨特斯维特定理指出,每个投票规则都是可操纵的,除非有一位拥有独裁权力的选民,或者只有两种投票选择。

参考文献

  1. ^ Gibbard, Allan. Manipulation of voting schemes: A general result. Econometrica. 1973, 41 (4): 587–601. JSTOR 1914083. doi:10.2307/1914083. 
  2. ^ Satterthwaite, Mark Allen. Strategy-proofness and Arrow's conditions: Existence and correspondence theorems for voting procedures and social welfare functions. Journal of Economic Theory. April 1975, 10 (2): 187–217. CiteSeerX 10.1.1.471.9842 . doi:10.1016/0022-0531(75)90050-2.