墨西哥帽小波


數學數值分析裡, Ricker 小波[1]

Mexican hat


是对高斯函數的二阶导数进行取反并归一化的结果,也就是能夠縮放正規化的第二埃爾米特函數。在連續小波的家族當中,埃爾米特小波是個非常特別的存在(應用在連續小波轉換稱作埃爾米特轉換)。Ricker子波經常被採用來模擬地震數據,並作為在計算電動力學的廣譜源項。它通常只在美國才會被稱作墨西哥帽小波,因為在作为核函数處理2维圖像時,形成了墨西哥寬邊帽的形狀。 由于神經科學家David Marr[2][3] 的缘故,该函数也被广泛称为 Marr wavelet

2D Mexican hat wavelet


而多維一般化的墨西哥帽小波稱為高斯函數的拉普拉斯。實際上,這種小波有時會用高斯函数的差來逼近,因為它可以被分離[4],也因此在二維或者更多維的情況下,能够節省大量的計算時間。規模標準化拉普拉斯 ( -norm) 經常被用來作為一個blob檢測和計算機視覺應用中的自動規模選擇。墨西哥帽小波也可以用Cardinal B-Slines 的微分來逼近。[5]

墨西哥帽函數的消失動量

消失動量(vanish moment)的定義:

小波轉換中,母小波 盡量選越高頻(意即vanish moment大的)越好.此處先介紹消失動量(vanish moment)的定義

k階動量(k-th moment):

 

 ,則我們稱母小波 的消失動量(vanish moment)為p

消失動量(vanish moment)越高,經內積後被濾掉的低頻成分越多.

墨西哥帽函數的消失動量(vanish moment):

墨西哥帽函數的數學表示式:

 

仔細觀察,  其實是高斯函數的二次微分:

  常數。

而高斯函數做傅立葉轉換仍是高斯函數

 

利用 

可以算出 

所以墨西哥帽函數的消失動量為2。

高斯函數p次微分的消失動量(vanish moment):

高斯函數的p次微分的數學表示式:

 

其傅立葉轉換為 

利用 

可以算出 

所以高斯函數p次微分的消失動量為p。

同時也可以印證,墨西哥帽函數是高斯函數的二次微分,消失動量為2

參考文獻

  1. ^ 存档副本 (PDF). [2014-12-27]. (原始内容 (PDF)存档于2014-12-27). 
  2. ^ 存档副本 (PDF). [2015-01-22]. (原始内容存档 (PDF)于2019-11-09). 
  3. ^ 存档副本. [2015-01-22]. (原始内容存档于2017-07-20). 
  4. ^ Fisher, Perkins, Walker and Wolfart. Spatial Filters - Gaussian Smoothing. [23 February 2014]. (原始内容存档于2021-02-13). 
  5. ^ Brinks R: On the convergence of derivatives of B-splines to derivatives of the Gaussian function, Comp. Appl. Math., 27, 1, 2008