定常系統

經典力學裏,如果一個系統的所有約束都是定常約束(scleronomous constraint),則稱此系統為定常系統(scleronomous system)。定常約束顯性地不含時間。假若約束顯性地含時間,則稱此約束為非定常約束

應用

主要項目:廣義速度

在三維空間裏,一個質量為 、速度為 的粒子的動能

 

速度是位置 對於時間 的導數。應用偏微分連鎖律,可以得到

 

其中, 是第 個廣義坐標, 是對應的廣義速度。

所以,

 

將方程式展開[1],動能可以分為三個項目表示:

 

其中,

 
 
 

   分別為廣義速度 的0次、1次、2次齊次函數。如果這系統是定常系統,位置不顯性地含時間, ,則只有 不等於零。所以, ,動能是廣義速度的2次齊次函數。

實例1:單擺

 
單擺

如右圖所示,單擺是由一個擺錘與一條繩子組成的簡單機械;繩子的上端固定,下端繫著擺錘。由於這繩子是無法伸縮的,繩子的長度是常數。所以,這系統是定常系統;它遵守定常約束

 

其中, 是擺錘的位置, 是擺長。

實例2:受驅擺

 
單擺的繩子上端受到簡諧運動的驅動。

參考右圖,假設一個單擺的繩子上端受到簡諧運動的驅動:

 

這裏, 振幅 角頻率 時間

由於無法伸縮繩子的長度是常數,擺錘與繩子上端的直線距離保持不變。但是,因為單擺的繩子上端受到簡諧運動的驅動,這個受驅擺系統是非定常系統;它遵守非定常約束

 

參閱

參考文獻

  1. ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 25. ISBN 0201657023 (英语).