双射
(重定向自對射)
數學中,一個由集合映射至集合的函數,若對每一在內的,存在唯一一個在內的与其对应,且對每一在內的,存在唯一一個在內的与其对应,則此函數為對射函數。
換句話說,如果其為兩集合間的一一對應,则是雙射的。即,同時為單射和滿射。
例如,由整數集合至的函數,其將每一個整數連結至整數,這是一個雙射函數;再看一個例子,函數,其將每一對實數連結至,這也是個雙射函數。
一雙射函數亦簡稱為雙射(英語:bijection)或置換。後者一般較常使用在時。以由至的所有雙射組成的集合標記為。
雙射函數在許多數學領域扮演著很基本的角色,如在同構的定義(以及如同胚和微分同構等相關概念)、置換群、投影映射及許多其他概念的基本上。
複合函數與反函數
一函數 為雙射的若且唯若其逆關係 也是個函數。在這情況, 也會是雙射函數。
兩個雙射函數 及 的複合函數 亦為雙射函數。其反函數為 。
另一方面,若 為雙射的,可知 是單射的且 是滿射的,但也僅限於此。
一由 至 的關係 為雙射函數若且唯若存在另一由 至 的關係 ,使得 為 上的恆等函數,且 為 上的恆等函數。必然地,此兩個集合會有相同的勢。
雙射與勢
若 和 為有限集合,則其存在一兩集合的雙射函數若且唯若兩個集合有相同的元素個數。確實,在公理集合論裡,這正是「相同元素個數」的定義,且廣義化至無限集合,並導致了基數的概念,用以分辨無限集合的不同大小。
例子與反例
性質
- 一由實數 至 的函數 是雙射的,若且唯若其圖像和任一水平線相交且只相交於一點。
- 設 為一集合,則由 至其本身的雙射函數,加上其複合函數「 」的運算,會形成一個群,即為 的對稱群,其標記為 、 或 。
- 取一定義域的子集 及一陪域的子集 ,則
- 且 。
- 為一雙射函數。
- 為一滿射函數。
- 為一單射函數。
- 一个严格的单调函数是双射函数,但双射函数不一定是单调函数(例如 )。
雙射與範疇論
另見
參考文獻
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外部連結
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