對數平均

對數平均是一個二個非負數字數學函數,等於兩者的除以其對數的差。其符號為:

三維圖表顯示對數平均的值

其中都是正整數。

對數平均的計算適用在有關熱傳質傳工程問題上。

不等式

二個數字的對數平均小於其算術平均,大於幾何平均[1],若二個數字相等,對數平均會等於算數平均及幾何平均。

 

平均的推導

微分的均值定理

根據均值定理

 

若將 改為 ,對數平均可以由  來求得

 

求解 

 

積分

對數平均也可以表示為指數函數以下的面積

 

 

面積的表示法可以推導一個有關對數平均的基本性質。 因為指數函數為單調函數,長度為1區間的的積分會在  之間。積分算子的齐次性轉移到平均算子,因此 .

推廣

微分的均值定理

對數平均可推廣到 變數,考慮對數n階導數均差中值定理英语mean value theorem (divided differences)。 可以得到:  其中 為對數的均差

 ,會變成

 .

積分

積分的表示法也可以推廣到多變數,但結果不同。 假設单纯形   其中 及適當的量度 可以使单纯形得到1的體積,可得

 

利用指數函數的均差可以簡化如下

 .

例如 

 .

和其他平均的關係

  •  算術平均

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參考資料