开世定理

几何学中,开世定理欧几里得几何学中的一个定理,可以看做是托勒密定理的一个推广结果。开世定理得名于爱尔兰数学家约翰·开世

叙述

 
 

开世定理的背景是内切圆。设有半径  的一个圆 ,圆内又有四个圆  内切于圆 (如右图)。如果将圆 外公切线的长度设为 ,那么开世定理声称,有下列等式成立。

 

可以注意到,如果四个内切的圆都退化成点的话,就会变成圆  上的四个点,而开世定理中的等式也会化为托勒密定理。

证明

设大圆的圆心是点 ;四个圆的圆心分别是点 ,半径分别是 。每个圆与大圆  的切点分别是 

首先,根据勾股定理可以推出:对于任意的ij,都有

 

接下来的思路是将这个公式右边的各个长度用  来表示。

考虑三角形 ,根据三角形的余弦定理

 

由于每个圆  都和大圆相切,所以:

 

设点  为大圆  上的任意一点,根据三角形的正弦定理,在三角形 之中,有:

 

所以,余弦式

 

将以上   代入式子 中,就可以得到:

 
 
 
 

再代入式子 中,就得到 的表达式:

 

以上等式对所有的ij 都成立,因此只要注意到四边形   是圆内接四边形,那么对其应用应用托勒密定理就可以得到开世定理:

 
 

证明完毕。

推广

可以用类似的方法证明,只要当圆  与大圆  相切(不论是外切还是内切),就会有类似开世定理的等式成立。这是需要注明,对任意的ij

如果圆  是与大圆  以同样的方式相切(都是外切或者都是内切)的话,则 表示两个圆的外公切线的长度;
如果圆  是与大圆  以不同的方式相切(一个是外切而另一个是内切)的话,则 表示两个圆的内公切线的长度。

另一个特点是:这定理的逆定理也成立。也就是说,如果开世定理的等式成立,那么这些圆必定以规定的方式与大圆相切。[1]

应用

在欧几里得几何学中,开世定理可以用来证明多种不同的结论。比如说费尔巴哈定理的一个简洁证明中就用到了它。

注释

  1. ^ Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry, p.123-125

参考书籍

外部链接