扰动函数

最优化领域中,扰动函数(perturbation function)是与主问题和对偶问题相关的任何函数。由于任何此类函数都定义了对初始问题的扰动,所以叫做扰动函数。很多时候这种扰动的形式是约束的调整(shift)。[1]

有时值函数(value function)也被称作扰动函数,而扰动函数则称作双函数(bifunction)。[2]

定义

给定豪斯多夫局部凸空间的两个对偶对  ,以及函数 ,可以定义主问题为

 

可令 以将约束嵌入f,其中I示性函数。则 是扰动函数,当且仅当 [1][3]

在对偶性中的应用

对偶间隙是不等式右式与左式之差

 

其中 是两个变量的凸共轭[3][4]

对扰动函数F的任意选择,弱对偶都成立。有一些条件一旦满足,就意味着强对偶[3]例如,若F下半连续真联合凸函数,且 (其中 代数内部 是由 定义的到Y的投影),并且XY弗雷歇空间,则强对偶性成立。[1]

例子

拉格朗日量

  对偶(为对偶对)。给定主问题(最小化 )与相关的扰动函数( ),则拉格朗日量 F关于y的负共轭(即凸共轭),也就是说拉格朗日量的定义是

 

特别地,弱对偶minmax方程可以证明为

 

若主问题是

 

其中 。则若扰动是

 

则扰动函数是

 

于是,可见与拉格朗日对偶的联系,因为L可以简单地看成是

 

芬切尔对偶性

  对偶。假定存在线性映射 伴随算子 。假定主目标函数 (通过示性函数,包含了约束)可以写作 使得 ,则扰动函数为

 

特别地,若主目标函数是 ,则扰动函数来自 ,这是芬切尔对偶性的传统定义。[5]

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Radu Ioan Boţ; Gert Wanka; Sorin-Mihai Grad. Duality in Vector Optimization. Springer. 2009. ISBN 978-3-642-02885-4. 
  2. ^ J. P. Ponstein. Approaches to the Theory of Optimization. Cambridge University Press. 2004. ISBN 978-0-521-60491-8. 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 Zălinescu, C. Convex analysis in general vector spaces. River Edge, NJ: World Scientific Publishing  Co., Inc. 2002: 106–113. ISBN 981-238-067-1. MR 1921556. 
  4. ^ Ernö Robert Csetnek. Overcoming the failure of the classical generalized interior-point regularity conditions in convex optimization. Applications of the duality theory to enlargements of maximal monotone operators. Logos Verlag Berlin GmbH. 2010. ISBN 978-3-8325-2503-3. 
  5. ^ Radu Ioan Boţ. Conjugate Duality in Convex Optimization. Springer. 2010: 68. ISBN 978-3-642-04899-9.