招差术
招差术是中国古代数学中的多項式插值。秦九韶称为“招法”,“招差”一词为元代数学家、历法家王恂首创。元代数学家朱世杰在《四元玉鉴》多次使用招差术。卷中《如像招数》第五问给出世界上最早的四次内插公式[1]。
秦九韶招法
秦九韶在《数书九章》中多次使用二次插值法。
《数书九章》卷十三 《计造石坝》
术曰:以商工求之,以招法入之
《数书九章》卷三 《缀术推星》也使用自变数不等间二次内插法(招差)。[2]。
郭守敬王恂招差术
郭守敬和王恂在《授时历》中大量使用三次内插法,他称为“招差”[3]。王恂推广隋唐时代二次内插法(盈不足术)为三次内插法(招差术),用以计算太阳盈缩,太阴迟疾的差分,定差,平差,立差,并归纳出平立定三差计算公式。
視入歷盈者,在盈初縮末限已下,為初限,已上,反減半歲周,余為末限;縮者,在縮初盈末限已下,為初限,已上,反減半歲周,余為末限。其盈初縮末者,置立差三十一,以初末限乘之,加平差二萬四千六百,又以初末限乘之,用減定差五百一十三萬三千二百,余再以初末限乘之,滿億為度,不滿退除為分秒。縮初盈末者,置立差二十七,以初末限乘之,加平差二萬二千一百,又以初末限乘之,用減定差四百八十七萬六百,余再以初末限乘之,滿億為度,不滿退除為分秒,即所求盈縮差。[4]
- 令 a 代表定差
- 令 b 代表平差
- 令 c 代表立差
- 令 k 代表初末限
- 盈缩差= [5]。
朱世杰招差术
朱世杰《四元玉鉴》多次使用招差术。卷中《如像招数》第五问给出世界上最早的四次内插公式[1]:
今有官司依立方招兵,初招方面三尺,次招方面转多一尺,得数为兵,今招一十五方,每人日支钱二百五十文,问兵及支钱各几何。或问还原:依立方招兵,初招方面三尺,次招方面转多一尺,得数为兵。今招一十五日,每人日支钱二百五十文,问招兵及支钱几何?
答曰:兵二万三千四百人,钱二万三千四百六十二贯。
术曰求得上差二十七,二差三十七,三差二十四,下差六
求兵者,今招为上积,又今招减一为茭草底子积为二积,又今招减二为三角底子积,又今招减三为三角一积为下积。以各差乘各积,四位并之,即招兵数也。
先求出上差(一次差),二差(二次差),三差(三次差)和下差(四次差),然后求出答案,是四次插值法(招差术)的运用[7]
日数 | 支錢累計數 | 每日支錢 | 招兵累计数 | 上差(每日招兵数) | 二差 | 三差 | 下差 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 6.75 | 6.75 | 27 | 27 | |||
2 | 29.5 | 22.75 | 91 | 64 | 37 | ||
3 | 83.5 | 54 | 216 | 125 | 61 | 24 | |
4 | 191.5 | 108 | 432 | 216 | 91 | 30 | 6 |
5 | 385.25 | 193.75 | 775 | 343 | 127 | 36 | 6 |
招兵累计数=
[8]。
其中
- a=上差
- b=二差
- c=三差
- d=下差
梅文鼎
参考文献
引用
来源
- 书籍
- 李俨. 《中算家电的内插法研究》. 《李俨.钱宝琮科学史全集》卷二. 辽宁教育出版社. 1998. ISBN 978-7-538-24807-4.
- 孔国平. 《李冶朱世杰与金元数学》. 河北科学技术出版社. 2000. ISBN 978-7-537-51884-0.
- 朱世杰. 《四元玉鉴校证》. 李兆华 校证. 科学出版社. 2007. ISBN 978-7-030-20112-6.
- 吴文俊 主编 (编). 朱世杰的数学成就. 《中国数学史大系》 第六卷 第四编. : 206–280. ISBN 7-303-04927-4/O 请检查
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