提升指數引理

初等數論中,指数提升引理(英語:lifting-the-exponent lemma,又稱LTE引理升冪引理)給出一些形如 的整數所含的質因數 的次數,即其p進賦值

背景

提升指數引理的起源並不明確。該引理目前的形式和名稱也只是在過去10至20年内引起人們的關注。[1]高斯已經知道這個引理的證明中的幾個關鍵思想,并在他的《算术研究》中引用。[2]儘管該引理主要應用在数学奥林匹克竞赛中,它有時也用於數學研究,例如橢圓曲線[3][4]

定理內容

对于任意整数  ,  ,正整数  ,和素数   使得   ,有下述的公式:

  •   為奇數時:
    • 如果   ,那麼 
    • 如果   是奇數并且   ,那麼  
  •   時 :
    • 如果    為偶數,那麼  
    • 如果    為奇數,那麼   。(可以從下的一般情況得出)
    • 推論:
      • 如果   ,那   因此有  
  • 對任意質數  
    • 如果    ,那麼  
    • 如果   ,    為奇數,那麼  

參考資料

  1. ^ Pavardi, A. H. (2011). Lifting The Exponent Lemma (LTE). Retrieved July 11, 2020, from http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.221.5543页面存档备份,存于互联网档案馆) (Note: The old link to the paper is broken; try https://s3.amazonaws.com/aops-cdn.artofproblemsolving.com/resources/articles/lifting-the-exponent.pdf页面存档备份,存于互联网档案馆) instead.)
  2. ^ Gauss, C. (1801) Disquisitiones arithmeticae. Results shown in Articles 86–87. https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235993352?tify={%22pages%22%3A%5B70%5D}页面存档备份,存于互联网档案馆
  3. ^ Geretschläger, R. (2020). Engaging Young Students in Mathematics through Competitions – World Perspectives and Practices. World Scientific. https://books.google.com/books?id=FNPkDwAAQBAJ&pg=PP1页面存档备份,存于互联网档案馆
  4. ^ Heuberger, C. and Mazzoli, M. (2017). Elliptic curves with isomorphic groups of points over finite field extensions. Journal of Number Theory, 181, 89–98. https://doi.org/10.1016/j.jnt.2017.05.028