收敛矩阵

线性代数中,收敛矩阵是在求幂过程中收敛到零矩阵的矩阵。

背景

矩阵T的幂随次数增加而变小时(即T的所有项都趋近于0),T收敛到零矩阵。可逆矩阵A正则分裂会产生收敛矩阵TA的半收敛分裂会产生半收敛矩阵T。将T用于一般的迭代法,则对任意初向量都是收敛的;半收敛的T则要初向量满足特定条件才收敛。

定义

n阶方阵T若满足

  1

则称T是是收敛矩阵[1][2][3]

例子

 

T的幂是

 
 

综之,

 

由于

 
 

T是收敛矩阵。注意其谱半径 ,因为 T唯一的特征值

特征

Tn阶方阵,则下列表述等价于T的收敛矩阵:

  1. 对某自然范数, 
  2. 对所有自然范数, 
  3.  
  4.  [4][5][6][7]

迭代法

一般的迭代法包含将线性方程组

  2

转为等价方程组

  3

的过程。选定初向量 ,近似解向量序列的生成由

  4

[8][9]

对任意初向量 ,序列 由(4)定义, ,当且仅当 收敛于(3)的唯一解,即T是收敛矩阵。[10][11]

正则分裂

矩阵分裂是用多个矩阵的和或差表示矩阵。对(2)所示的线性方程组,若A可逆,则A就可分裂为

  5

于是(2)可重写为(4)。当且仅当 时,(5)式是A的正则分裂;即 只有非负元素。若分裂(5)是A的正则分裂、且 ,则 T是收敛矩阵,迭代法(4)收敛。[12][13]

半收敛矩阵

n阶方阵T,若极限

  6

存在,则称之为半收敛矩阵[14]A可能奇异,而(2)齐次,即bA的范围内,则当且仅当T是半收敛矩阵时,对任何初向量 ,(4)定义的序列收敛到(2)的解。这时,分裂(5)称作A半收敛分裂[15]

另见

注释

  1. ^ Burden & Faires (1993,第404頁)
  2. ^ Isaacson & Keller (1994,第14頁)
  3. ^ Varga (1962,第13頁)
  4. ^ Burden & Faires (1993,第404頁)
  5. ^ Isaacson & Keller (1994,第14,63頁)
  6. ^ Varga (1960,第122頁)
  7. ^ Varga (1962,第13頁)
  8. ^ Burden & Faires (1993,第406頁)
  9. ^ Varga (1962,第61頁)
  10. ^ Burden & Faires (1993,第412頁)
  11. ^ Isaacson & Keller (1994,第62–63頁)
  12. ^ Varga (1960,第122–123頁)
  13. ^ Varga (1962,第89頁)
  14. ^ Meyer & Plemmons (1977,第699頁)
  15. ^ Meyer & Plemmons (1977,第700頁)

参考文献