斯图尔特定理

斯图尔特定理（英語：Stewart's Theorem），或译史都華定理、斯特瓦尔特定理、斯图沃特定理，又稱為阿波羅尼奧斯定理。它說明： 在三角形$ABC$的邊$BC$上任意取一點$P$，則：

斯图尔特定理

${\overline {PC}}\ {\overline {AB}}^{2}+{\overline {PB}}\ {\overline {AC}}^{2}=({\overline {PB}}+{\overline {PC}})({\overline {PA}}^{2}+{\overline {PB}}\ {\overline {PC}})$。

該定理由蘇格蘭數學家馬修·斯圖爾特在1746年發表。這個定理以他的名字命名，來紀念他的貢獻。

证明

设a与p的交点为P。 对互补角APB和APC应用余弦定理，可得：

$b^{2}=p^{2}+y^{2}-2py\cos {\theta }\,$

$c^{2}=p^{2}+x^{2}+2px\cos {\theta }.\,$

把第一个等式乘以x，把第二个等式乘以y ：

$xb^{2}=xp^{2}+xy^{2}-2pxy\cos {\theta }\,$

$yc^{2}=yp^{2}+yx^{2}+2pxy\cos {\theta }.\,$

两式相加，得：

$xb^{2}+yc^{2}=(x+y)p^{2}+xy(x+y),\,$

证毕。

历史

据 Hutton & Gregory (1843，p.220) 所述，Stewart 于 1746 年发表这一结果，当时他正竞选爱丁堡大学数学教授之职。Coxeter & Greitzer (1967，p.6) 指出，这一定理可能在公元前300年左右就已经为阿基米德所知。他们接着说（错误地），第一个已知的证明是由 R. Simson 于 1751 年提供。Hutton & Gregory (1843 年) 指出，这一定理在 1748 年被 Simson 使用，1752 年被 Simpson 使用，并且它在欧洲的首次出现是由 Lazare Carnot 于1803 年给出。