无平方因子数

无平方因子数[1](英語:square-free integer)是指其因數中,沒有一個是平方數正整數。簡言之,將一個這樣的數予以質因數分解後,所有質因數都不會大於或等於2。例如:54=,由於54有因數是平方數(),所以54不是无平方因子数;而55=,55沒有因數是平方數,所以55是无平方因子数。

以數學概念說明:若一個數是无平方因子数,則對於任意平方數;或者說當皆為質數時,對於任意而言,

另一方面,默比乌斯函数當且僅當為无平方因子数時

前20個無平方因數的數是:1235671011131415171921222326293031OEIS數列A005117

由於无平方因子数的所有質因數指數均為一次方,故除1以外,有關數的正因數數目必定是2的非負整數次方

將无平方因子数分解為兩數之積,這兩數一定互質[查证请求][來源請求][原創研究?]

依定義,顯然所有的質數楔形数質數階乘與有4個正因數的半質數都是无平方因子数。

不含平方因子的数的分布

如果用Q(x)来表示1和x之间的不含平方因子的数,则:

 

因此,不含平方因子的数的自然密度为:

 

其中ζ是黎曼ζ函数

类似地,如果用Q(x,n)来表示1和x之间的不含n次方因子的数,则我们可以证明:

 

參考文獻

  1. ^ 张鸿林; 葛显良. 英汉数学词汇. 清华大学出版社. 2005: 703. ISBN 9787302098935. square-free number 无平方因子数