晶体学点群

在晶体学中，晶体学点群是对称操作（例如旋转、反映）的集合。这些操作以固定的中心向其他方向移动能使晶体复原，因此称为对称操作。对于一种真正的晶体（不是准晶体），点群对应的操作必须能够保持晶体的三维平移对称性。经过它的点群中任何操作之后，晶体的宏观性质依然和操作前完全相同^[1]。在晶体的分类中，每一种点群也称为晶类。

这样看来似乎有无穷多种三维点群。然而，根据晶体局限定理可知，无穷多族的普通点群可以概括成32种晶体学点群。这32种点群与1830年约翰·弗里德里希·克里斯蒂安·赫塞尔提出的32种晶体形态学（外部）对称性是等价的，而他是从观察晶体外形得出的此结论。

晶体的点群和其他要素一起从结构上决定了晶体的物理性质具有各向异性，包括光学性质，例如某种晶体是否有双折射性质，或者它是否表现出普克尔斯效应。

记号

点群表示的是晶体所包含的对称元素。目前有多种不同的记号，分别由结晶学家、矿物学家、物理学家和化学家使用。

对于下面两种不同系统的关系，请参见晶系。

熊夫利记号

在熊夫利中，点群是用字母符号加上数字下标表示的。下面简述晶体学中使用的这种符号的意义^[2]：

C_n（循环群）表示该群有一根n次旋转轴。C_nh是C_n加上一个与旋转轴垂直的镜面（反映）对称元素。C_nv则是C_n加上n个与旋转轴平行的镜面对称元素。
S_2n（源自德语Spiegel，意思是镜面）表示一根只含有2n次旋转反映轴（简称映轴）。
D_n（二面体群）表示这个群只有一根n次旋转轴和n根垂直于这根主轴的二重轴。D_nh是加上一个与n次旋转轴垂直的镜面。D_nd则是D_n是加上n个与n次旋转轴平行的镜面。
字母T（四面体）表示这个群有四面体的对称性。T_d则包括了旋转反映操作，T群本身则不包含旋转反映操作，T_h则是T群加上与旋转轴垂直的镜面。
字母O（八面体）表示该群具有八面体或者立方体的对称性，可能包括（O_h）或不包括（O）旋转反映操作。

根据晶体局限定理，在二维或三维空间中n的取值只有1、2、3、4和6。

n	1	2	3	4	6
C_n	C₁	C₂	C₃	C₄	C₆
C_nv	C_1v=C_1h	C_2v	C_3v	C_4v	C_6v
C_nh	C_1h	C_2h	C_3h	C_4h	C_6h
D_n	D₁=C₂	D₂	D₃	D₄	D₆
D_nh	D_1h=C_2v	D_2h	D_3h	D_4h	D_6h
D_nd	D_1d=C_2h	D_2d	D_3d	D_4d	D_6d
S_2n	S₂	S₄	S₆	S₈	S₁₂

D_4d和D_6d实际上是不存在的，因为它们分别包含了n=8和12的旋转反映轴。表格中剩下的27种点群与T、T_d、T_h、O和O_h共同组成32种晶体学点群。

赫尔曼–莫甘记号

赫尔曼–莫甘记号的一种简略形式广泛用于表示空间群，也用于描述晶体学点群。群的名称列在下表中；点群间相互之关系可见右图。

1	1
2		²⁄_m	222	m	mm2	mmm
3	3		32	3m	3m
4	4	⁴⁄_m	422	4mm	42m	⁴⁄_mmm
6	6	⁶⁄_m	622	6mm	62m	⁶⁄_mmm
23	m3	432	43m	m3m

不同记号之间的对应关系

晶族	晶系	赫尔曼–莫甘（完整记号）	赫尔曼–莫甘（简写记号）	舒勃尼科夫^[3]	熊夫利	轨形记号	考克斯特记号	阶
三斜		1	1	$1\$	C₁	11	[ ]⁺	1
三斜		1	1	${\tilde {2}}$	C_i = S₂	x	[2⁺,2⁺]	2
单斜		2	2	$2\$	C₂	22	[2]⁺	2
		m	m	$m\$	C_s = C_1h	*	[ ]	2
		$\color {Black}{\tfrac {2}{m}}$	2/m	$2:m\$	C_2h	2*	[2,2⁺]	4
正交		222	222	$2:2\$	D₂ = V	222	[2,2]⁺	4
		mm2	mm2	$2\cdot m\$	C_2v	*22	[2]	4
		$\color {Black}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	mmm	$m\cdot 2:m\$	D_2h	*222	[2,2]	8
四方		4	4	$4\$	C₄	44	[4]⁺	4
		4	4	${\tilde {4}}$	S₄	2x	[2⁺,4⁺]	4
		$\color {Black}{\tfrac {4}{m}}$	4/m	$4:m\$	C_4h	4*	[2,4⁺]	8
		422	422	$4:2\$	D₄	422	[4,2]⁺	8
		4mm	4mm	$4\cdot m\$	C_4v	*44	[4]	8
		42m	42m	${\tilde {4}}\cdot m$	D_2d	2*2	[2⁺,4]	8
		$\color {Black}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	4/mmm	$m\cdot 4:m\$	D_4h	*422	[4,2]	16
六方	三方	3	3	$3\$	C₃	33	[3]⁺	3
		3	3	${\tilde {6}}$	S₆ = C_3i	3x	[2⁺,6⁺]	6
		32	32	$3:2\$	D₃	322	[3,2]⁺	6
		3m	3m	$3\cdot m\$	C_3v	*33	[3]	6
		3 $\color {Black}{\tfrac {2}{m}}$	3m	${\tilde {6}}\cdot m$	D_3d	2*3	[2⁺,6]	12
	六方	6	6	$6\$	C₆	66	[6]⁺	6
		6	6	$3:m\$	C_3h	3*	[2,3⁺]	6
		$\color {Black}{\tfrac {6}{m}}$	6/m	$6:m\$	C_6h	6*	[2,6⁺]	12
		622	622	$6:2\$	D₆	622	[6,2]⁺	12
		6mm	6mm	$6\cdot m\$	C_6v	*66	[6]	12
		6m2	6m2	$m\cdot 3:m\$	D_3h	*322	[3,2]	12
		$\color {Black}{\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	6/mmm	$m\cdot 6:m\$	D_6h	*622	[6,2]	24
立方		23	23	$3/2\$	T	332	[3,3]⁺	12
		$\color {Black}{\tfrac {2}{m}}$ 3	m3	${\tilde {6}}/2$	T_h	3*2	[3⁺,4]	24
		432	432	$3/4\$	O	432	[4,3]⁺	24
		43m	43m	$3/{\tilde {4}}$	T_d	*332	[3,3]	24
		$\color {Black}{\tfrac {4}{m}}$ 3 $\color {Black}{\tfrac {2}{m}}$	m3m	${\tilde {6}}/4$	O_h	*432	[4,3]	48