样本均值

样本均值是由一個或多個隨機變數中得到的统计量,样本均值是一個向量,其中的每個元素都是針對隨機變數取样後得到的算术平均数。若只考慮一個随机变量,則样本均值為一個純量,是隨機變數觀測值的算术平均。

定義

 為第j個隨機變數(j=1,...,K)在第i次觀測(i=1,...,N)到的值,所有觀測值可以重組為N個K ×1的向量,其中第i次觀測的所有數據用 表示(i=1,...,N)。

算术平均向量 的第j個元素 是第j個隨機變數在N次觀測值的平均值:

 

因此算术平均向量包括所有隨機變數的平均值,可以用以下方式表示:

 

样本均值是隨機向量英语Multivariate random variable 期望(若存在)的無偏估計英语Bias of an estimator,隨機向量是一個列向量,其中第j個元素(j = 1, ..., K)為第j個隨機變數[1]

样本均值因為是用所有的觀測值計算而得,稍微和每次的觀測值有關。若母体平均 已知,其無偏估計值

 

用到母体平均,其分母為 

样本均值的方差

本节中总假定出现的均值和方差都是存在的。對於每個隨機變數,样本均值是母体平均的良好估计函数,其中的良好是指有效及無偏差。當然样本均值不會是統計母體真實均值的正確值,因為從同一個分佈中不同的取様會產生不同的样本均值,也就對真實均值有不同的估计。因此样本均值也是隨機變數,不是常數,因此也會有其分佈隨機變數。針對第j個隨機變數N次觀測的隨機取様,其样本均值分佈的均值會等於母體均值 ,而其變異數會等於 ,其中 是隨機變數Xj的變異數。

評論

样本均值廣為使用在統計學及相關應用中,不過也有其缺點。样本均值不是稳健统计,容易受異常點英语outliers影響。在真實世界的應用中,一般會期望數據有稳健的性質,有其他方式可以計算類似样本均值的統計量,但又比样本均值要稳健,可以得到一些常見的量化統計量,例如樣本眾數位置參數英语Location parameter有關[2]。其他的替代品包括Winsorising英语Winsorising修整估计量英语Trimmed estimator,例如Winsorized平均英语Winsorized mean修整平均英语trimmed mean

參考資料

  1. ^ Richard Arnold Johnson; Dean W. Wichern. Applied Multivariate Statistical Analysis. Pearson Prentice Hall. 2007 [10 August 2012]. ISBN 978-0-13-187715-3. (原始内容存档于2020-10-30). 
  2. ^ The World Question Center 2006: The Sample Mean页面存档备份,存于互联网档案馆), Bart Kosko