桥 (图论)

移除會使圖不連通之邊

圖論中,一條邊被稱為「」代表這條邊一旦被刪除,這張圖的連通塊數量會增加。[1] 等價地說,一條邊是一座橋若且唯若這條邊不在任何上。一張圖可以有零或多座橋。

這是有16個頂點和6個橋的圖(橋以紅色線段標示)
沒有橋的無向連通圖

樹和森林

一張   個點的圖最多有   座橋,因為再加一條邊就一定會產生一個環。恰好有   座橋的圖就是;而圖上每一條邊都是橋的圖就是森林

無橋圖

一個無橋圖就是一個沒有橋存在的圖。等價條件是每個圖中的連通分支都擁有一個張開的耳狀分解[2]其中每個連通分支都是2-邊連通圖,即(根據Robbins定理)每個連通分支都具有強定向性。[2]

Tarjan的找橋演算法

羅伯特·塔揚在 1974 年發表了第一個線性時間的找橋演算法[3]。它的步驟如下:

  • 在圖   上找一個生成树  
  • 先序遍歷走過   並將每個節點編號。父節點的編號必須比子節點來得小。
  • 以後序遍歷的順序處理每個節點   :
    • 計算   的小孩個數   ,即為   的每個小孩    加總再加  
    • 計算  :從   出發經過若干條   的子樹內的邊,再經過一條不在子樹內的邊,可以走到的最小節點編號。這相當於是下列的最小值:
      •   的每個小孩   的   
      • 扣掉   的邊,直接和   相連的節點編號
    • 類似地,計算   :從   出發經過若干條   的子樹內的邊,再經過一條不在子樹內的邊,可以走到的最大節點編號。這相當於是下列的最大值:
      •    的每個小孩   的   
      • 扣掉   的邊,直接和   相連的節點編號
    • 檢查   的每個小孩   ,若   而且   ,則   到   的邊是一座橋。

注释

  1. ^ Bollobás, Béla, Modern Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics 184, New York: Springer-Verlag: 6, 1998 [2015-09-17], ISBN 0-387-98488-7, MR 1633290, doi:10.1007/978-1-4612-0619-4, (原始内容存档于2018-05-05) .
  2. ^ 2.0 2.1 Robbins, H. E., A theorem on graphs, with an application to a problem of traffic control, 美国数学月刊, 1939, 46: 281–283, doi:10.2307/2303897, hdl:10338.dmlcz/101517  .
  3. ^ Tarjan, R. Endre, A note on finding the bridges of a graph, Information Processing Letters: 160–161, MR 0349483, doi:10.1016/0020-0190(74)90003-9 .