極大與極小元

数学分支序理论中,預序集子集極大元(英語:maximal elements)不小於的任何元素。極小元minimal elements)可對偶地英语Duality (order theory)定義,其不大於的任何元素。

60的因數,以整除關係為偏序,所成的哈斯圖。紅色子集有兩個極大元和一個極小元同時也是最小元

極大和極小的條件比最大和最小弱。預序集的子集的最大元需要「大於或等於」的全體元素(最小元同樣為其對偶),極大元則衹需「不小於」(例如不可比較英语Comparability)。若將預序集限縮至偏序集,則至多衹有一個最大元和一個最小元,但極大、極小元皆可有多於一個。[1][2]但在全序集上,最大等價於極大,最小亦等價於極小。

以集族

為例,其上的偏序為包含關係。當中極小,因為不包含族中任何其他集合,反之極大,因為不被其他集合包含。則既非極小亦非極大,但同時為極小、極大。相比之下,最大元最小元

定義

 预序集,又設 ,則 中關於 的極大元定義為滿足以下性質的元素 

若有 使  則必有 

與之類似, 中關於 極小元是滿足以下性質的元素 

若有 使  則必有 

等價地,亦可將 關於 的極小元定義為 關於 的極大元,其中對任意  當且僅當 

若無明示子集 ,則所謂極大元預設是 的極大元。

若預序集 實為偏序集[註 1],或者限縮到 是偏序集,則 為極大當且僅當 無嚴格較 大的元素。換言之,不存在 使   將本段的 號一律換成 就得到極小元的描述。

存在性

極大/極小元不必存在。

  • 例一:考慮實數 的區間 。對任意元素  仍在 中,但 ,因此沒有元素 為極大。
  • 例二:考慮有理數 的子集 ,因為根號2是無理數,對任何有理數 皆可找到另一有理數 使 

但在某些情況下,極大/極小元保證存在。

  •  為有限非空子集,則必有極大元和極小元。(對無窮子集無此結論,如整數 就沒有極大元。)
  • 佐恩引理斷言:「若偏序集 中,每個全序子集 皆有上界,則 至少有一個極大元。」此引理等價於良序定理选择公理[3]在數學的多個分支有重要推論,例如可證任何向量空間皆有(極大的代數無關子集),或是任何皆有代數閉包代數擴張偏序下的極大元)。

唯一性

極大/極小元不必唯一。

各領域例子

  1. ^ 因此 連同 可推出 
  2. ^ 2.0 2.1 定義為: 當且僅當  。高維情形亦同。
  3. ^ 若有元素 ,則集族 無極小元。

參考文獻

  1. ^ Richmond, Bettina; Richmond, Thomas, A Discrete Transition to Advanced Mathematics, American Mathematical Society: 181, 2009, ISBN 978-0-8218-4789-3 .
  2. ^ Scott, William Raymond, Group Theory 2nd, Dover: 22, 1987, ISBN 978-0-486-65377-8 
  3. ^ Jech, Thomas. The Axiom of Choice. Dover Publications英语Dover Publications. 2008 [originally published in 1973]. ISBN 978-0-486-46624-8.