模糊函數與韋格納分佈的關係

模糊函數(Ambiguity function,AF):

韋格納分佈(Wigner distribution,WD):

模糊函數與韋格納分佈關係

一個訊號s(t),自相關函數為   如果 為時間相依性(time-dependent),則時間相依自相關(time-dependent auto-correlation)為 , 時間相依(時變)頻譜(time-dependent spectrum)可以表示的形式類似於傳統的功率譜,即對時間相依自相關函數做傅立葉變換。
 
不同的時間相依自相關會導致不同的時間相依功率譜。
如果   ,則時間相依功率譜變成為Wigner distribution
若對 中的t做傅立葉逆轉換,得到另一個時頻表示,對稱模糊函數(symmetric ambiguity function,SAF)
  模糊函數反映信號在時間和相位的相關性,並已廣泛應用在雷達和聲納系統上。 給一個對稱模糊函數 ,透過傅立葉變換可以得到時間相依自相關:
  由上式可以推得
 
也就是對對稱模糊函數做兩次傅立葉變換可以得到Wigner distribution

範例

一個訊號為兩個Gaussian函數的和:
 
 

  • 其中 集中在原點(0,0),而 集中在 ,而 相似於 ,除了中心點在 
    •   ,   ,   ,   ,  

模糊域(ambiguity domain)的auto-term與cross-term

從範例中得知一項重要事實,即為,在模糊域(ambiguity domain)中的auto-term總是集中在原點(0,0),而cross-term總是在遠離原點處,所以可以用一個2D lowpass filter在模糊域中抑制cross-term的干擾,如下:
  ,其中 為2D lowpass filter

兩高斯信號和之模糊函數與韋格納分佈應對關係

如果 ,則
 
 

  • 其中SWD為smoothed Wigner distribution

通常 ( 和  )當作kernal function,用來控制SWD的特性。


若Wigner分佈和對稱模糊函數用大小(magnitude)及相位(phase)表示,如下:
 
 
  ,  
也就是說對對稱模糊函數的相位做偏微分,會等於Wigner分佈的時頻(time-frequency)中心。
相反地,  ,  
則為對Wigner分佈的相位做偏微分,會等於對稱模糊函數的中心。


如果 ,則
 
會集中在 軸上。


如果 ,則
 
會集中在 軸上。

參考

  • Weiss, Lora G. "Wavelets and Wideband Correlation Processing". IEEE Signal Processing Magazine, pp. 13–32, Jan 1994
  • Shie Qian, Introduction to time-frequency and wavelet transforms, Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, c2002
  • L. Sibul, L. Ziomek, "Generalised wideband crossambiguity functiom", IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing, ICASSP '81.01/05/198105/1981; 6:1239- 1242.