決定公理

在數學上,決定公理Axiom of determinacy,常記做AD)是一個在1962年由​​揚·米切爾斯基英语Jan Mycielski​​雨果·斯坦豪斯英语Hugo Steinhaus所提出的可能的集合論公理,這公理探討的是特定類型且長度為ω的二人​拓樸遊戲英语Topological game,而決定公理聲稱,任何這類的遊戲都是決定的英语determinacy,也就是這兩個玩家中其中一人有必勝策略。

他們發展出決定公理的動機是這公理的有趣結果,他們並指出這公理可在集合論的最小自然模型​​L(R)英语​​L(R)中成立,這模型只接受較弱版本的選擇公理,但包括了所有的實數序數。決定公理的一些結果,可由早前由斯特凡·巴拿赫斯坦尼斯瓦夫·馬祖爾英语Stanisław Mazur以及莫頓·戴維斯(Morton Davis)等人證明的定理得出;而米切爾斯基與斯坦豪斯兩氏則證明了另一個結果,那就是在決定公理下,所有實數的集合都是勒貝格可測的。之後Donald A. Martin等人證明了更多重要的結果,尤其在描述集合論方面更是如此。在1988年,約翰·斯蒂爾英语John R. Steel​烏丁英语W. Hugh Woodin總結了一長串的研究,並證明說在類似不可數基數存在的狀況下,米切爾斯基與斯坦豪斯兩氏原先的猜想,也就是「決定公理在集合論的最小自然模型​​L(R)英语​​L(R)中成立」這點是對的。

具決定性的遊戲

決定公理所談論的遊戲具有特定的定義,而其定義如次:

考慮所有自然數的無限序列組成的貝爾空間英语Baire space (set theory) 的子集合 ,而其中兩個玩家1p2p輪流選取自然數

 

在經過無限步後,可得一序列 ,其中玩家1p獲勝當且僅當這序列是 的元素。而決定公理講的是任何這類的遊戲都是決定的,也就是這兩個玩家中其中一人有必勝策略。

不是所有的遊戲的決定性,都需要動用決定公理來證明。在 是一個閉開集的情況下,那這遊戲基本是有限的,也因此是決定的;相似地,若 是一個閉集,那這遊戲是決定的。在1975年,唐纳德·A·馬丁英语Donald A. Martin證明說若一個遊戲必勝策略是一個博雷爾集的話,那這遊戲是決定的;此外,在有足夠大的基數存在的狀況下,所有必勝策略是射影集英语projective set的遊戲都是決定的,而決定公理在​​L(R)英语​​L(R)中成立。

另外,決定公理蘊含說對於任何實數線的子空間 而言,巴拿赫-馬祖爾遊戲英语Banach–Mazur game 是決定的(也因此所有的實數集合都具有貝爾性質)。

決定公理與選擇公理的不相容性

在假定選擇公理成立的狀況下,我們可以構造決定公理的一個反例。集合  -遊戲 中玩家一的所有策略,其大小與連續統相同;而類似地, 是同樣遊戲中玩家二的所有策略。設  中所有可能序列的集合,並假定  中使玩家一獲勝的子序列,那麼利用選擇公理我們可以為連續統構造一個良序,且我們可以構造出一個任何真初始部分都小於連續統的排序,而我們可利用這樣的良序集 來給  上指標,並藉此將 給構造成決定公理的一個反例。

我們從空集合  開始。設 是集合  的指標,我們考慮玩家一的所有策略 及玩家二的所有策略 以確保對於任何策略,都會有另一個玩家的策略能將之勝過。對於任何玩家考慮的策略,我們都可生成一個序列,使得另一個玩家獲勝。設 是時間軸,其長度為 且這時間軸用於所有的遊戲序列中,我們可以利用 上對 超限遞歸來生成反例:

  1. 首先,考慮玩家一的策略 
  2. 將這策略套用於 -遊戲上,(連同玩家一的策略 一起)可生成 這序列,而這序列不屬於 ,這是可能的,而這可能性是因為 這些選項的數量與連續統相同,而這數量比 的真初始部分 還要大所致。
  3. 現在(若這序列還不在 之內的話)將這序列加入 之中以表示 失敗。(輸給 
  4. 現在,考慮玩家二的策略 
  5. 將這策略套用於 -遊戲上,(連同玩家二的策略 一起)可生成 這序列,而這序列不屬於 ,這是可能的,而這可能性是因為 這些選項的數量與連續統相同,而這數量比 的真初始部分 還要大所致。
  6. 現在(若這序列還不在 之內的話)將這序列加入 之中以表示 失敗。(輸給 
  7. 利用對 超限歸納法,對  的所有可能策略如是操作,對於所有在這之後不在  中的策略,將之任意分派給  ,使得  的補集。

當這一切完成後,準備 -遊戲 ,而在這遊戲中,對於任何玩家一的策略 ,存在一個 使得 ,而 的構造方式保證 失敗(輸給 ),因此 失敗;類似地,任何玩家的任何其他策略都會失敗,因此決定公理與選擇公理不相容。

無窮邏輯與決定公理

在二十世紀晚期,人們提出多種不同的無窮邏輯英语Infinitary logic,其中一個認為決定公理為真的理由是因為這公理可(在某種無窮邏輯當中)寫成以下形式:

 

  OR

 

註:  的所有 -序列。此處的句子長度無限,且在省略號出現處,有可數無窮多的量化詞序列。

大基數與決定公理

決定公理的相容性,與大基數相關公理的相容性息息相關。根據​烏丁英语W. Hugh Woodin的一個定理,不帶有選擇公理而帶有決定公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論的相容性,等價於帶有選擇公理並帶有​烏丁基數英语Woodin cardinal策梅洛-弗蘭克爾集合論的相容性。由於​烏丁基數是強不可達基數之故,因此若決定公理是相容的,那不可達基數的無限性也是相容的。

此外,若假設有無窮多個烏丁基數,且其上還存在一個可測基數,大於該些烏丁基數,則可得到一個非常強的、關於勒貝格可測的實數集合的理論,而這是因為可以證明決定公理在​​L(R)英语​​L(R)中成立,因此所有在​​L(R)英语​​L(R)中的實數集合都是決定的之故。

參見

參考資料

延伸閱讀