沙普利-福克曼引理

凸幾何的引理
(重定向自沙普利-福克曼引理

沙普利-福克曼引理凸幾何英语Convex geometry的一條引理,其於数理经济学有應用。引理描述向量空間子集閔可夫斯基和有何性質。若干個集合的閔可夫斯基和,即從各集合分別取一個元素相加,組成的集合:例如,將整數組成的集合,與自身相加,得到由組成的集合,以符號可寫成:

圖片描畫了沙普利-福克曼引理:圖片分為左右兩版塊,左邊畫了四個集合,排成二乘二的方陣,每個集合恰有兩個點(紅)。每個集合的兩點之間,有一條線段(粉紅)相連,表示原集合的凸包。每個集合(或凸包)中,恰有一點用加號(+)標出。在二乘二的方陣居上的橫行,兩個加號各位於線段內;居下的橫行,兩個加號分別與某紅點重合。左版塊的描述完畢。右版塊則畫出四個集合的閔可夫斯基和,即從各集合各取一點求和,所產生的可能值的集合。本例中,有十六個不同的和,為平面上相異的點(紅)。右邊每個紅點是左邊某四個紅點的和。十六個紅點的凸包塗滿粉紅。右邊和集的粉紅色內部,恰有一個加號,該點即為左邊四個加號之和。回想左邊四點中,恰有兩點來自兩個非凸的原集合,另兩點則來自另兩個原集合的凸包,此四點之和為右邊標加號的點。
此處以四個集合的閔可夫斯基和為沙普利-福克曼引理的例證。在左邊,四個非凸集中的點(+)之和,就是右邊,其閔氏和凸包中的點(+)。左邊四點之中,有兩點位於相應的非凸集中,另有兩點位於非凸集的凸包中。各凸包以淺粉紅色畫出。原來的集合各只有兩點(以紅點表示)。[1]

「許多個集合的閔氏和,是否必定近似凸集?」沙普利-福克曼引理和相關的結果表明,問題的答案為肯定。[2]集合稱為,意思是連接其中任意兩點的线段,必為該集合的子集:舉例,實心圓盤  為凸集,但  則不然,因為連接相異兩點的線段  並不是圓的子集。沙普利-福克曼引理大致斷言,若求和項的數目超出向量空間的維數,則其閔氏和將近凸。[1]

沙普利-福克曼引理引入時,是作為證明沙普利-福克曼定理的一步,該定理斷言閔氏和與其凸包距離不超過某個上界。所謂集合凸包,是包含的最小凸集。而當且僅當和為凸時,上述距離為零。定理中,距離的上界取決於維數及求和項的形狀,但不取決於求和的項數,而只需。只要其中個求和項的形狀,就足以確定個集合的閔可夫斯基平均

與其凸包的距離的上界。當趨向無窮時,該上界遞減至零(需要各求和項的大小一致有界)。[3]斯塔(Starr)的推论將沙普利-福克曼定理的上界壓得更低,故又稱為沙普利-福克曼-斯塔定理

劳埃德·沙普利強·福克曼英语Jon Folkman的引理,最先由經濟學家羅斯·斯塔英语Ross Starr發表,其時斯塔正在肯尼斯·阿罗門下,研究經濟均衡的存在性。[1]斯塔在論文中,研究凸化(convexified)經濟體,即將非凸集換成其凸包。斯塔證明,凸化之後,有些均衡由原經濟體的「準均衡」(quasi-equilibria)逼近;還證明,每個準均衡都具有真均衡的許多最優性質,而凸經濟體中則必定存在真均衡。斯塔1969年的論文發表後,沙普利-福克曼-斯塔的結果得到廣泛應用,用作證明(凸)經濟理論的若干核心結果,儘管不適用於有非凸部分的大經濟體,但在此等經濟體中,仍是良好的近似。羅歇·蓋內里英语Roger Guesnerie評論:「這些結論的一般形式的推導,是戰後經濟理論的重大成就。」[4]許多諾貝爾獎得主都曾研究經濟學中的非凸集英语Non-convexity (economics),除了前述的劳埃德·沙普利(2012年獲獎)外,還有:阿羅(1972)、罗伯特·约翰·奥曼(2005)、傑拉德·德布魯(1983)、特亚林·科普曼斯(1975)、保羅·克魯曼(2008)、保羅·薩繆爾森(1970)。至於互補的主題「經濟學中的凸集英语Convexity in economics」,除以上得主著重外,還有里奥尼德·赫维克兹列昂尼德·维塔利耶维奇·康托罗维奇(1975)、罗伯特·索洛(1987)都著重。

沙普利-福克曼引理在優化論概率论皆有應用。[3]優化論中,可以引理解釋,在求多個函数之和的最小值時,為何一些解法可以成功。[5][6]概率論中,引理適用於證明隨機集英语Stochastic geometry的「大數定律」。此定理先前僅在凸集的情況得證。[7]

簡單例子

考慮凸的實數區間 ,其包含整數子集 ,且是其凸包(添加了兩點所連線段上的所有點)。僅得兩個元素的集合 ,複製成三份,並按元素求和,得到

 

(此處集合的和,是從各集合分別取一個元素相加,得到的可能結果的集合,稱為閔氏和。)和集的凸包則為區間 

區間 中,每個數 都可以寫成區間 中某三個實數(允許重複)之和,例如將 等分成三份即可。但使用沙普利-福克曼引理,則有更強的結論: 的每個數,都可以寫成 中某兩個整數(允許重複),與 中某一個實數之和。[8]

凸包 中的點,到 的距離,至多為 

 

然而,考慮三個區間 的閔氏平均

 

與其凸包 的距離,僅為 ,即未平均前  距離( )的三分之一。越多個集合相加,其閔氏平均就將凸包填得越滿:由閔氏平均至凸包的最遠距離,隨被加項數增加,而趨向於零。[8]此為沙普利-福克曼定理的結論。

前置概念

沙普利-福克曼引理需要用到凸幾何英语convex geometry的若干定義和定理,本節將作簡介。

實向量空間

向量空間上,有笛卡兒坐標系,將每點視為一對實數,稱為「坐標」,按慣例記為 。笛卡兒平面上的兩點,可以逐個坐標相加

 

此外,點也可以逐個坐標與實數 相乘

 

更一般而言,任何 維(有限維)實向量空間,均可視為 個實數組成的D元組的集合 ,並配備兩種運算向量加法標量乘法。有限維實空間的此兩種運算,皆定義成逐個坐標運算,與笛卡兒平面上的運算類似。[9]

凸集

凸集 中,連接任意兩點的線段仍是 的子集。
非凸集 中,連接某兩點的線段上,有一點不再是 的元素。
線段可以檢驗某集合是否凸集

實向量空間中,非空子集 稱為凸集,意思是,對於 的任意兩個點,連接兩點成一線段,其上的所有點仍在 中。例如,實心圓盤   為凸,但   則不然,因為連接相異兩點的線段   並不是圓的子集。三個整數的集合 非凸,但其為區間 的子集,而該區間為凸。又例如,實心立方體為凸,然而任何空心或凹陷的圖形,如彎月形英语Crescent,則非凸。空集也是凸集,視乎作者偏好,這可能是專門的定義[10],也可能是因為要滿足的條件是空真命題英语Vacuous truth

更嚴謹而言,集合 稱為,意思是,對 中任意兩點 ,和單位區間 中的任意實數 ,點

 

仍是 元素

數學歸納法,集合 為凸,當且僅當其任意多個元素的凸組合仍在 中。所謂向量空間子集 凸組合,是其元素的任意加權平均 ,而各 可以是總和為 的任意非負實數,即只需 [11]

凸集的定義推出,兩個凸集的交集仍是凸集。更甚者,任意一族凸集的交也是凸集。作為特例,若取兩個不交的凸集,則其交集為空集,故應當稱空集為凸。[10]

凸包

 
紅色集的凸包中,每個藍點都是若干個紅點的凸組合

對於實向量空間的每個子集 ,其凸包 是包含 最小凸集。所以, 是所有覆蓋 的凸集的交。等價地,可以將 定義成 的點的所有凸组合的集合。[12]作為例子,整數集合 的凸包,是實數區間 ,其兩端為原有的整數 [8]单位圆的凸包則是閉单位圆盘,其包含單位圓。

閔可夫斯基和

 
集合的閔可夫斯基和。兩個小正方形  的和,是大正方形 

在任何向量空間(或有定義加法的代數結構) 中,兩個非空子集 閔可夫斯基和,定義為其元素之和的集合,即  (參見[13])。例如:

 

此運算定義在非空子集族上,且滿足結合律交換律。既然有結合律和交換律,就可以遞歸定義多個被加項的運算結果 。由數學歸納法,可見[14]

 

閔可夫斯基和的凸包

閔可夫斯基和與凸包運算可以交換。具體而言,對實向量空間 的任意子集 ,其閔氏和的凸包等於其凸包的閔氏和。換言之,

 

故由數學歸納法得

 

對任意 和非空子集  )成立。[15][16]

各命題的敍述

 
閔氏和及凸包。右圖的十六個紅點,組成左圖四個非凸集的閔氏和。左圖每個非凸集由兩個紅點組成,其凸包(淺粉紅色)包含標記加號(+)的點,而右圖中的加號等於左圖各個標加號的點之和。

由前一段的恆等式,對和的凸包中的每點 ,都存在各凸包的  取遍  ),使得 。各點 的位置取決於 

引理

 
劳埃德·沙普利,2012年諾貝爾經濟學獎得主。他與強·福克曼英语Jon Folkman一同證明沙普利-福克曼引理。[1]

有了以上背景,沙普利-福克曼引理斷言, 的表示法

 

僅需要不多於 個被加項 取自凸包,而其他被加項,則只需取自原來的集合 。以符號復述,即有以上方法表示 ,且滿足 。不妨將下標重新排序,然後就有

 

其中對 ,有 ,而對 ,則有 。注意,倘若重排,則排序的方式也取決於點 [17]再精簡,沙普利-福克曼引理可以寫成

 

舉例,集合 中的每個點,根據引理,必定可以寫成 的某個元素,與 的某個元素之和。[8]

實向量空間的維數

反之,沙普利-福克曼引理刻劃了有限維實向量空間的維數。具體而言,若某向量空間,對於某個自然數 滿足引理的結論,但對小於 的數不滿足,則其維數恰好為 [18]引理僅對有限維向量空間成立。[19]

沙普利-福克曼定理及斯塔的推論

 
某點集(深紅)的凸包以淺紅虛線圍起。點集的內半徑(綠色)必定小於其外接圓半徑(藍色),除非所有點共圓,此時兩個半徑相等。

沙普利與福克曼運用其引理,證明沙普利-福克曼定理,給出集合的閔氏和與其凸包(稱為凸化(convexified)和)的距離上界。定理的敍述如下:

凸化和 的任一點,到(未凸化)和集 歐氏距離平方,不超過各集合 的外接半徑中,最大 個的平方和。(所謂外接半徑,定義為包圍該集合的最小球面的半徑。)[20]此上界與求和項數 無關(但要求 ,且集合不能越來越大)。[21]

上述定理給出閔氏和及其凸包之間距離的上界。當且僅當閔氏和為凸集時,此距離為零。該上界取決於維數 及各被加項的形狀,但只要 ,就不取決於項數 [3]

通常,外接半徑會大於內半徑,而無論如何,外接半徑總不能小於內半徑。集合 內半徑定義為:[22]

最小的正實數 ,滿足:若  凸包中,則  若干點的凸包中,而該些點皆在同一個半徑為 內。

斯塔將沙普利-福克曼定理中的外接半徑換成內半徑,從而壓低沙普利-福克曼定理的上界:

沙普利-福克曼定理的斯塔推論

凸化和 的任一點,到(未凸化)和集 的歐氏距離平方,不超過各集合 的內半徑中,最大 個的平方和。[22][23]

斯塔的推論確定, 個集合的閔氏和與其凸包之間,歐氏距離的上界。此距離可以衡量閔氏和非凸的程度,故為簡單起見,下文稱為非凸度。於是,斯塔對非凸度的上界,僅取決於 個最大內半徑之值,但不取決於求和的項數 (假設 )。


例如,非凸集 的非凸度為 ,因為與其凸包(區間 )的距離為

 

所以,既然 的非凸度有不取決於項數 的上界,就知平均集

 

非凸度上界,會隨 增加而遞減。例如,平均集

 

和其凸包 的距離僅為 ,等於被加項 與其凸包 的距離( )之半。僅要最大 個求和項的形狀,已足以計算和集與凸包的距離的上界,故除以 後,平均集與凸包的距離,在 趨向無窮時,會遞減至零(對均勻有界的求和項成立,即各個求和項的大小需有同一個上界)。[3]若使用斯塔的上界,則前一句結論的條件可以放寬,只需各求和項的內半徑有同一個上界。[3]

證明和計算

沙普利-福克曼引理的原證明,僅確定存在該種表示法,而無說明如何構造阿羅哈恩[24]蓋士利英语J. W. S. Cassels[25]、斯奈德(Schneider)[26]和其他人都曾給出類似的證明。阿特斯泰因(Artstein)擴展了埃科蘭德英语Ivar Ekeland的簡潔抽象證明。[27][28]也有未經出版的另證。[2][29]1981年,斯塔發表一種疊代法,可以計算給定點的表示法,然而,此計算方法給出的上界,較非構造性證明的上界差。[30]博赛卡斯的書有講述有限維空間沙普利-福克曼引理的初等證明,[31]並將引理應用於估計可分優化(separable optimization)問題與零和賽局對偶間隙

應用

有沙普利-福克曼引理,學者就得將有關凸集閔氏和的結果,套用到(無需凸的)一般集合之和。此種和見於經濟學最优化理論概率論。此三領域的應用中,非凸性起到重要作用。

經濟學

 
消費者偏好位於無差異曲線 上的任意籃子,勝過位於 上的籃子。籃子 ,是預算線(藍色)支撐 的位置,所以是最優而又可行。相反,雖然消費者更偏好 上的任意籃子,但無足夠預算,所以並不可行。

經濟學中,消費者對每一「籃子」商品(basket,即商品的組合)有其偏好程度。每籃子可用一個非負向量表示,其坐標為籃中各商品的量。所有籃子組成的集合中,每個消費者有自己的一族无差异曲线,滿足:在同一條曲線上的各籃子,對該消費者是等價的,即消費者並不覺該曲線上有籃子勝於另一個籃子。每籃子恰好處於一條無差異曲線上。消費者相對於一條無差異曲線的偏好集,定義為該無差異曲線與其更偏好的區域的並集。稱消費者的偏好為,意思是其所有偏好集皆為凸。[32]

如圖所示,消費者認為的最優籃子,是在預算線支撐某個偏好集時取到,因為此時,所選的籃子是整條預算線上,達到最高的無差異曲線的一點。所謂預算線,是由商品的價格向量與消費者的收入計算得出的限制,消費者無足夠收入購買高於此線的籃子。所以,最優籃子的集合是各價格的函數,稱為消費者的需求。若偏好集為凸,則不論價格為何,消費者認為的最優籃子總是組成凸集,例如可能是單元集,或是一條線段。[33]

非凸偏好

 
若消費者的偏好有凹陷,則消費者的決定可以不連續,從一個籃子跳到另一個隔開的籃子。

然而,若有偏好集非凸,則某些價格確定的預算線,可能在兩個分開的最優籃子支撐該偏好集。例如,可以設想,動物園購買獅子或鷹的價錢一樣,且其預算恰好夠買一隻獅子或一隻鷹。此外,假設園主亦認為兩隻動物價值相同,則動物園有可能買獅子,也可能買鷹,但當然不可能買半隻獅子加半隻鷹(狮鹫)。所以,園主的偏好非凸:買兩隻動物中的任一隻,勝於兩者的嚴格凸組合。[34]

若消費者有非凸偏好集,則對於某些價格,需求不連通。不連通的需求,會導致消費者的行為出現不連續的間斷。引述哈羅德·霍特林的話(宜配合所附動圖理解):

若考慮波浪形的無差異曲線,即在某些區域向原點凸,而在其他區域向原點凹,則我等被迫推論,僅有向原點凸的部分需要理會,因為幾乎不可能觀測到其他部分。要偵測該些部分,唯一方法是,觀察價格之比率變化時,需求的不連續變化。此變化的效果是,當直線旋轉時,切點會突然躍過某凹陷。雖然此種不連續的表現,揭示有凹陷,但卻不可能量度缺口的深度。倘若無差異曲線,或其高維推廣,有凹陷部分,則定必因永遠無法測量,而不為人知。[35]

瓦爾特·迪韋爾特英语Walter Erwin Diewert[36]書中,稱赫爾曼·沃爾德英语Herman Wold[37]有強調研究非凸偏好的困難,也引述保羅·薩繆爾森稱凹陷處「被永恆的黑暗遮蔽」[38]

儘管有上述困難,《政治經濟期刊英语Journal of Political Economy》(JPE)在1959年至1961年間,刊登一系列的論文,解明非凸偏好。投稿人包括:法雷爾(Farrell)[39]巴托爾英语Francis M. Bator[40]科普曼斯[41]、羅森博格(Rothenberg)[42]。其中,羅森博格討論非凸集和的近似凸性。[43]該些JPE論文,促使劳埃德·沙普利马丁·舒比克也合著論文,研究凸化的消費者偏好,並引入「近似均衡」(approximate equilibrium)的概念。[44]JPE論文和沙普利-舒比克論文又啟發了罗伯特·奥曼提出另一個概念,稱為「準均衡」(quasi-equilibrium)。[45][46]

斯塔1969年的論文與當代經濟學

 
肯尼斯·阿罗(1972年诺贝尔獎得主)幫助羅斯·斯塔英语Ross Starr研究非凸經濟體英语Convex preferences[47]

肯尼斯·阿罗收集前人研究經濟學中的非凸集英语Non-convexity (economics)的文獻,列成表,並加入註解,交給羅斯·斯塔英语Ross Starr。斯塔當時仍是本科生,但已在修讀阿羅開設的高等數理經濟學(研究生)課程。[47]斯塔在學期論文中,考慮將非凸偏好換成其凸包所得的假想經濟體,研究其一般均衡。凸化經濟體中,在每個價位,總需求皆是各消費者需求的凸包之和。斯塔的想法吸引數學家劳埃德·沙普利強·福克曼英语Jon Folkman參與,兩人「在私人通信中」證明現以兩人命名的引理和定理,到1969年,斯塔才於論文報告此事。[1]

斯塔1969年的論文中,應用沙普利-福克曼-斯塔定理,證明「凸化」經濟體有一些一般均衡,只要參與者足夠多,能以原經濟體的「準均衡」近似。具體而言,斯塔證明,至少存在一個價格向量為 的準均衡,滿足下列條件:

  • 對每個準均衡 ,所有消費者都可以選到其最優的籃子(在預算限制內,且最偏好)。
  • 在該價格 ,凸化經濟體中,每種商品的市場皆均衡,即供給等於需求。
  • 每個準均衡的價格,皆「幾乎出清」原經濟體的市場:凸化經濟體均衡組成的集合,與原經濟體的準均衡集合,兩者的距離上界。此結論是根據沙普利-福克曼定理的斯塔推論得到。[48]

斯塔確立以下結論:

「總體中,[取各消費及生產集的凸包]所得的假想經濟體的分配,與真實經濟體的某個分配,兩者的差異,有不取決於參與者數目的上界。因此,當參與者數目趨向無窮時,平均參與者感受到,與擬作行動的偏差,近乎可以忽略不計。」[49]

斯塔1969年論文發表後,沙普利-福克曼-斯塔的結論,在經濟理論獲廣泛應用。羅歇·蓋內里英语Roger Guesnerie如此總結該結論對經濟學的意義:「假設凸性,所得的若干重要結果,在不具凸性的情況下,仍(近似)適用。例如,若經濟體具有大消費側,則偏好的非凸性不影響適用標準結果」[50],還稱「這些結論的一般形式的推導,是戰後經濟理論的重大成就。」[4]許多諾貝爾獎得主都曾研究經濟學中的非凸集英语Non-convexity (economics),除了前述的劳埃德·沙普利(2012年獲獎)外,還有:阿羅(1972)、罗伯特·约翰·奥曼(2005)、傑拉德·德布魯(1983)、特亚林·科普曼斯(1975)、保羅·克魯曼(2008)、保羅·薩繆爾森(1970)。至於互補的主題「經濟學中的凸集英语Convexity in economics」,除以上得主著重外,還有里奥尼德·赫维克兹列昂尼德·维塔利耶维奇·康托罗维奇(1975)、罗伯特·索洛(1987)都著重。[51]

沙普利-福克曼-斯塔的結論,在經濟學各分支的文獻都經常出現,包括微观经济学[52]一般均衡理論[53][54]公共經濟學[55](包括市场失灵[56]博弈论[57]数理经济学[58]、經濟學中的应用数学[59][60]。沙普利-福克曼-斯塔的結論,也使經濟學更多使用測度論和积分理論。[61]

最優化理論

 
函數稱為,意思是圖像上方的區域為凸集

沙普利-福克曼引理可以解釋,為何大規模的最小化問題,即使非凸,仍可用迭代法近似求解(僅對於凸問題,有證明疊代法收斂到最優解)。沙普利-福克曼引理,促使學者將凸優化方法,用於優化多個(無需凸的)函數之和。[62]

最優化理論的前置概念

非线性规划依賴下列有關函數的若干定義:

  • 函數 定義在集合 上)的圖像,是所有參數 與相應取值 組成的二元組的集合:
 
 
正弦函數並非凸函数
 

舉例,二次函数 為凸,而绝对值函數 亦然,但正弦函數 (如圖)則不然,因為在區間 的蓋圖非凸(而有向上的凹陷)。

加性優化問題

許多優化問題中,目標函數 可分離變數(可分),即 是多個函數之和,而各個函數的參數不同,如:

 

又例如,线性规划問題就可分離變數。考慮一個可分問題,及一個最優解

 

在該點取到最小值 。對此可分問題,同時考慮其「凸化問題」的最優解,即將每個求和項 的圖像換成其凸包。此種最優解,會是凸化問題的某點列 極限,其中

 [5][64]

當然,因為此點是 個圖像凸包的點之和,由沙普利-福克曼引理,就可以寫成原圖像的點與少數圖像凸包的點之和。

以上分析,1974年由埃科蘭德英语Ivar Ekeland發表,以解釋為何可分問題有許多項時,即使各項非凸,總問題仍看似凸。對非線性最小值問題而言,對偶問題的解,不一定就是原問題的解(但若已知原問題為凸,且滿足特定条件,則兩者的的最優解相等),但是,1973年,青年數學家克勞德·勒馬雷沙爾英语Claude Lemaréchal詫異,對已知非凸的問題使用凸問題的方法,竟然也成功。勒馬雷沙爾的問題,正是上段加性可分離變數的形式,而每個和項皆非凸函數,但對偶問題的解,仍近似原問題的最優解。[65][5][66]埃科蘭德的分析說明,「大而可分」的最小值問題,即使各和項有凹陷,仍可運用凸優化的方法。埃科蘭德及其後的作者主張,因為變數可以加性分離,所得的總問題近似凸。該等著作以沙普利-福克曼引理為關鍵一步。[5][66][67]沙普利-福克曼引理促使學者將凸優化方法,應用到目標函數為多個函數之和的情況。[5][6][59][62]

概率與測度論

凸集常與概率论一同研究。卡拉西奧多里定理英语Carathéodory's theorem (convex hull)說明, 維空間的(非空)子集 凸包中的點,是取值於 的簡單隨機向量英语Multivariate random variable的期望值,而所謂簡單,意思是僅在不多於 個點處有非零概率。所以,對非空集 ,取值自 的簡單隨機向量組成的集合,等於 的凸包。由此便可在概率論中,套用沙普利-福克曼-斯塔的結果。[68]反之,藉期望值與凸包之間的聯繫,概率論亦能用作研究凸集,尤其可用作分析沙普利-福克曼-斯塔的結果。[69]沙普利-福克曼-斯塔的結果,廣泛用於隨機集的概率論英语Stochastic geometry[70],例如證明隨機集的大數定律[7][71]中央極限定理[71][72]大離差原理英语Large deviations theory[73]。要證明前列概率極限定理,可以使用沙普利-福克曼-斯塔的結果,來避免假設隨機集為凸。

概率测度是有限的测度,而沙普利-福克曼引理還可以應用到非概率的測度論,如体积向量测度的理論。沙普利-福克曼引理可以加強布倫-閔可夫斯基不等式英语Brunn–Minkowski theorem。該不等式斷言,閔氏和的體積,相較於各和項的體積不能太大,即閔氏和的體積有上界,以各和項的體積的表示。[74]歐氏空間子集的體積,此處定義為其勒贝格测度


高等測度論中,沙普利-福克曼引理適用於證明李亞普諾夫定理,即向量测度值域為凸。[75]值域(或像集)是函數所有可能取值的集合,而向量測度則將測度推廣到允許取向量值。例如,若某测度空間有兩種概率测度  ,則可定義一個向量測度 ,是對每個事件 ,將其兩個概率結合為一個二元組,即

 

李亞普諾夫定理在經濟學[45][76]、(砰砰)控制論統計理論英语Statistical theory皆有應用。[77]李亞普諾夫定理是沙普利-福克曼引理的連續版[3],而沙普利-福克曼引理是李亞普諾夫定理的離散類比[78]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Starr (1969)
  2. ^ 2.0 2.1 Howe (1979,第1頁)
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Starr (2008)
  4. ^ 4.0 4.1 Guesnerie (1989,第138頁)
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 (Ekeland 1999,第357–359頁): 1976年首部英文版中,埃科蘭德在附錄證明沙普利-福克曼引理,並在p. 373提到勒馬雷沙爾的實驗觀察。
  6. ^ 6.0 6.1 Bertsekas (1996,第364–381頁)於p. 374引用Ekeland (1999),並在p. 381引用Aubin & Ekeland (1976)

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    Bertsekas (1996,第364–381頁)將拉格朗日對偶法用到發電排程英语Scheduling (production processes)上(即機組排程問題英语power system simulation),此種問題有變量限制為整數,所以非凸:

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    會注意到,競爭市場中,不能觀測到無差異曲線凸處(而不是凹)的任何點。此種點被永恆的黑暗遮蔽,除非我等令該消費者壟斷買方,且從非常凸的「預算曲線」上,選取所買的商品。(其沿此曲線,影響所買商品的價格。)在买方垄断的情況,仍可從均衡點觀測到的限制的斜算,推斷該人無差異曲線的斜率。[譯按:此處凸與凹的約定,與本條目相反。]

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    「永恆的黑暗」描述彌爾頓所著《失樂園》中的地獄,其卷二第592至594行將地獄的凹陷與塞波尼斯大沼澤英语Serbonian Bog相比:

    A gulf profound as that Serbonian Bog
    Betwixt Damiata and Mount Casius old,
    Where Armies whole have sunk.

    彌爾頓對凹陷的描寫,是Arrow & Hahn (1980,第169頁)第7章"Markets with non-convex preferences and production"[非凸偏好與生產的市場]的題辭英语epigraph (literature)。該章講解Starr (1969)的成果。
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    但可能為嚴格包含(左右不必相等)。據Rockafellar (1997,第49及75頁),即使兩個被加項各已是閉凸集,仍可能是嚴格包含。若要使閔氏和變成閉,則要取其閉包,即要添加所有收斂序列的極限。
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  74. ^ Ruzsa (1997,第345頁): Ruzsa, Imre Z. The Brunn–Minkowski inequality and nonconvex sets [布倫-閔可夫斯基不等式與非凸集]. Geometriae Dedicata. 1997, 67 (3): 337–348. MR 1475877. doi:10.1023/A:1004958110076 (英语). 
  75. ^ Tardella (1990,第478–479頁): Tardella, Fabio. A new proof of the Lyapunov convexity theorem [李亞普諾夫凸性定理的新證]. SIAM Journal on Control and Optimization. 1990, 28 (2): 478–481. MR 1040471. doi:10.1137/0328026 (英语). 
  76. ^ Vind (1964,第168 and 175頁): Vind, Karl. Edgeworth-allocations in an exchange economy with many traders [多交易者交易經濟體中的埃奇沃思分配]. International Economic Review. May 1964, 5 (2): 165–77. JSTOR 2525560. doi:10.2307/2525560 (英语).  1983年諾貝爾獎得主傑拉德·德布魯有注意維恩(Vind)的論文。Debreu (1991,第4頁)寫道:

    凸集的概念(即該集合包含連接其任意兩點的線段),已經多次成為1964年以前經濟理論的核心。引入積分理論研究經濟競爭後,得以新眼光看待此事:若經濟體的每個參與者,對應商品空間的某個任意集合,而又對一族不重要的參與者取平均,則所得的集合必然為凸。[德布魯附註:「此為A. A. 李亞普諾夫的定理的直接推論,參見Vind (1964)。」] 但⋯⋯諸價格函數⋯⋯可以因平均而產生的凸性解釋。商品空間中,對一族不重要參與者加總可以得到凸性,是經濟理論⋯⋯從積分理論得來的觀察。 [刪節後譯文]

    Debreu, Gérard. The Mathematization of economic theory [經濟理論的數學化]. The American Economic Review. March 1991, 81 (Presidential address delivered at the 103rd meeting of the American Economic Association, 29 December 1990, Washington, DC): 1–7. JSTOR 2006785 (英语). 

  77. ^ Artstein (1980,第172–183頁) Artstein (1980)在致敬2008年諾貝爾經濟學獎得主羅伯特·奧曼論文集英语Festschrift重新出版:Artstein, Zvi. 22 Discrete and continuous bang–bang and facial spaces or: Look for the extreme points [第22篇:離散與連續砰砰及面空間,又或:找極值點]. Hart, Sergiu; Neyman, Abraham (编). Game and economic theory: Selected contributions in honor of Robert J. Aumann [賽局與經濟理論:致敬羅伯特·J. 奧曼的文選]. Ann Arbor, Mich.: University of Michigan Press. 1995: 449–462. ISBN 0-472-10673-2. (原始内容存档于24 May 2011) (英语). 
  78. ^ Mas-Colell (1978,第210頁): Mas-Colell, Andreu. A note on the core equivalence theorem: How many blocking coalitions are there? [記核等價定理:有多少個聯盟在阻礙?]. Journal of Mathematical Economics. 1978, 5 (3): 207–215. MR 0514468. doi:10.1016/0304-4068(78)90010-1 (英语). 


參考文獻

外部鏈結