波尔文积分

波尔文积分（英語：Borwein integral）是一种由波尔文父子发现的性质特殊的积分，常用于作为看似存在的数学规律最终失效的例子。2001年，大卫·波尔文和乔纳森·波尔文共同发表了这个涉及sinc函数的积分。

常见的例子为：

${\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}$

这种规律一直到

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.$

都是成立的。

但是到了下一个数，这个规律就突然失效了：

${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&\simeq {\frac {\pi }{2}}-2.31\times 10^{-11}.\end{aligned}}$

公式

对于给定的一系列非零实数，即$a_{0},a_{1},a_{2}\cdots$，可以给出$\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\mathrm {d} x$的封闭公式形式。为了计算这个公式，其中需要做的就是计算含有$a_{k}$相关的量之和。特别的，设$\gamma =(\gamma _{1},\gamma _{2},\cdots ,\gamma _{n})\in \{\pm 1\}^{n}$即由$\pm 1$构成的$n$元组，于是可以写成$b_{\gamma }=a_{0}+\gamma _{1}a_{1}+\gamma _{2}a_{2}+\cdots +\gamma _{n}a_{n}$即有关$a_{k}$的各种加减形式的总和，并且令$\varepsilon _{\gamma }=\gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{n}$（其结果为$\pm 1$）。基于上述定义，可以得到该积分的值为：

$\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2a_{0}}}\cdot C_{n}$

其中：

$C_{n}={\frac {1}{2^{n}\cdot n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\cdot \sum _{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}}\varepsilon _{\gamma }b_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn} (b_{n})$

在这里如果$a_{0}>|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|$，那么有$C_{n}=1$。

进一步地，如果存在一个$n$对于每个$k=0,\cdots ,n-1$总有$0<a_{n}<2a_{k}$成立，并且有$a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}<a_{0}<a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}$，即$n$为首次超过$a_{0}$的前几项之和时的元素数量，即当$k=0,\cdots ,n-1$时有$C_{k}=1$，但在其他情况时：

$C_{n}=1-{\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}-a_{0})^{n}}{2^{n-1}\cdot n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}$

在这里令$a_{k}={\frac {1}{2k+1}}$，即当$n=7$时$a_{7}={\frac {1}{15}}$，此时${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\approx 0.955$但是${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}\approx 1.02$，又由于$a_{0}=1$，于是该公式成立（并且移去其中任何因子也成立）：

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\cdot {\frac {\sin {\frac {x}{3}}}{\frac {x}{3}}}\cdots {\frac {\sin {\frac {x}{13}}}{\frac {x}{13}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}$

但在另一方面，则有：

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\cdot {\frac {\sin {\frac {x}{3}}}{\frac {x}{3}}}\cdots {\frac {\sin {\frac {x}{15}}}{\frac {x}{15}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}\left[1-{\frac {\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}-1\right)^{7}}{2^{6}\cdot 7!\cdot (3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11\cdot 13\cdot 15)^{-1}}}\right]$

即与前面给出的公式的结果相同。