深度 (模論)

在交換代數中， 深度是交換環與模的一種不變量，它可以由正則序列定義，或以同調代數中的Ext函子刻劃。

正則序列

設 $R$ 為交換環，$M$ 為 $R$-模。若元素 $x\in R$ 滿足 $\forall m\in M,\;xm=0\Rightarrow m=0$（即：$x$ 非 $M$ 的零因子），則稱之為 $M$-正則元。

一組 M-正則序列是一個 $R$ 中的有限序列 $(x_{1},\ldots ,x_{d})$，使得對每個 $1\leq i\leq d$ 有

$x_{i}$ 為 $M/(x_{0},\ldots ,x_{i-1})$-正則元（置 $x_{0}:=0$）

定理（Rees）：若 $(R,{\mathfrak {m}})$ 是局部諾特環，元素皆屬於 ${\mathfrak {m}}$ 的正則序列之置換仍是正則序列，而且這類序列中的極大者都具相同長度。

深度

假設同上，並固定一個理想 $I\subset R$。定義$R$-模 $M$ 的I-深度為元素皆屬於 $I$ 的 $M$-正則序列的最大長度，記作 $\mathrm {depth} _{I}(M)$（在法文文獻中常記作 $\mathrm {prof} _{I}(M)$）。環 $R$ 的 $I$-深度定義為 $\mathrm {depth} _{I}(R)$。

$\mathrm {depth} _{I}(M)$ 亦可用Ext函子刻劃為使得 $\mathrm {Ext} ^{n}(R/I,M)\neq 0$ 的最小非負整數 $n$。

下列等式將深度問題化約到局部環的情形：

$\mathrm {depth} _{I}(M)=\sup _{{\mathfrak {p}}\supset I}(M_{\mathfrak {p}})$

以下定理揭示了深度與射影維度的關係。

定理 （Auslander-Buchsbaum）：設 $A$ 為局部諾特環，$M$ 為有限生成 $A$-模，而且其射影維度有限，則

$\mathrm {pd} _{A}(M)+\mathrm {depth} _{A}(M)=\mathrm {depth} (A)$

文獻

• V.I. Danilov, Depth of a module, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer Graduate Texts in Mathematics, no. 150. ISBN 0-387-94268-8
• Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Cohen-Macaulay rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1