特定指数的费马大定理的证明

费马大定理完整证明是一个艰深的过程,但是,对于某些特定指數n,其证明并不算十分复杂,因此在此展示费马大定理的特例证明。

n=4

证明 没有全不为0的整数解。

预备知识

假设x,y,z是满足 的一组互质的整数解,那么存在互质的整数a,b,使得 

证明过程

1

假设(x,y,z)为方程 一个解并且x,y互质,y为偶数,则 ,其中 ,a、b互质,a、b的奇偶性相反。由 得a必定是奇数,b必定是偶数。

2

另外,亦得 ,再从此得 ,其中 ,c、d互质,c、d的奇偶性相反。

3

最后有 ,由此得c、d和 为平方数。于是可设 ,即 。换句话说,(e,f,g)为方程 的另外一个解。但是, 。就是说如果我们从一个z值出发,必定可以找到一个更小的数值 g,使它仍然满足方程 。如此类推,我们可以找到一个比g更小的数值,同时满足上式。但是,这是不可能的!因为z为一有限值,这个数值不能无穷地递降下去!由此可知我们最初的假设不正确。

所以,方程 没有正整数解。