瑞利問題

在流體力學中,瑞利問題Rayleigh problem)或斯托克斯第一問題Stokes first problem),得名於瑞利男爵喬治·斯托克斯,是一個由無限長平板從靜止開始運動所產生的流體流動問題。這被認為是具有納維-斯托克斯方程式精確解的最簡單的非穩定問題之一。基思·斯图尔特森英语Keith Stewartson研究了由半無限平板運動所產生的現象 。[1]

流體描述[2][3]

考慮一個對初始靜止的無限大流域來說位於 的無限長平板突然以定速度  方向移動,不可壓縮納維-斯托克斯方程式可簡化為

 

其中 黏度。板與流體接觸面的初始條件與不滑移條件英语No-slip condition

 

最後一個條件是由於無限遠處的流體無法被 的運動所影響。流體的流動只由平板移動所導致,此處並沒有外加的壓力梯度。

自相似解[4]

該問題類似於一維的熱傳導問題,因此這裡可以引入相似的變量

 

將它們代入上述的偏微分方程,可以簡化為常微分方程

 

並具有邊界條件

 

上述問題的解可被寫成含互補誤差函數的形式

 

單位面積施加在平板上的力為

 

任意平板運動

除了用上述的階躍邊界條件,平板的速度也可以是時間的任意函數 。方程式的解可以寫為[5]

 

圓柱體的瑞利問題

旋轉的圓柱

考慮一個半徑為 的無限長圓柱體於時間 時開始以角速度 旋轉,則 方向的速度由下式給出

 

其中 是第二類修正貝索函數。當 ,方程式的解趨近於剛體渦旋。單位面積施加於圓柱體的力為

 

其中 第一類修正貝索函數。

滑動的圓柱

精確解在圓柱體沿軸向以等速度 運動也存在。設圓柱體的軸向指向   方向,則方程式的解為

 

參看

參考文獻

  1. ^ Stewartson, K. T. (1951). On the impulsive motion of a flat plate in a viscous fluid. The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 4(2), 182-198.
  2. ^ Batchelor, George Keith. An introduction to fluid dynamics. Cambridge university press, 2000.
  3. ^ Lagerstrom, Paco Axel. Laminar flow theory. Princeton University Press, 1996.
  4. ^ Acheson, David J. Elementary fluid dynamics. Oxford University Press, 1990.
  5. ^ Dryden, Hugh L., Francis D. Murnaghan, and Harry Bateman. Hydrodynamics. New York: Dover publications, 1956.