圆幂定理

圓冪定理（英語：circle power theorem），是平面幾何中的一個定理。這定理指出，給定一個圓 Γ 以及一點 P，從該點引出兩條割線，分別與 Γ 相交於 A、B 以及 C、D，則有

${\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}={\overline {PC}}\cdot {\overline {PD}}$

這個乘積，是 P 對於 Γ 的圓冪（英語：circle power），故定理以此為名。

圓冪定義

在圖中，O 是圓心，OA = OT 是半徑 r（藍色），OP 是點到圓心的距離 s（橙色），PT 是切線（紅色），PMN 是割線（黑色）。

平面上任意一點 P ，以及半徑為 r 、圓心為 O 的圓，則定義圓冪 h 為：

$h=OP^{2}-r^{2}$。

從這個定義可知，若 P 在圓內，則圓冪為負數；若 P 在圓外，則圓冪為正數；若 P 在圓周上，則有圓冪等於零。

圓冪又可等價地定義為：從該點穿過圓心的割線，與圓所作的兩個交點，與該點距離的乘積。也就是說：

$h={\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}$ 。

理由如下：

${\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}=(s-r)(s+r)=s^{2}-r^{2}=h$。

變體

圓冪定理有三個變體，分別是「相交弦定理」、「割線定理」及「切割線定理」。

相交弦定理

在圖中，圓心為 O，圓上有兩弦 AB 及 CD，相交於 E

設有一圓，圓上有兩條弦 AB 及 CD，它們相交於 E，則有

${\overline {EA}}\cdot {\overline {EB}}={\overline {EC}}\cdot {\overline {ED}}$

這個乘積，是 E 的圓冪的相反數 −h。這是因為圓冪為非正數，而線段的乘積為正數。

割線定理

設有一圓，圓外有一點 P，引出兩條割線，分別與圓相交於 A、B 以及 M、N，則有

${\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}={\overline {PM}}\cdot {\overline {PN}}$

這個乘積，是 P 的圓冪 h。

切割線定理

設有一圓，圓外有一點 P，引出一條割線，與圓相交於 A、B ，又引出一條切線，與圓相切於 T，則有

${\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}={\overline {PT}}^{2}$

這個乘積，同樣是 P 的圓冪 h。

證明

相交弦定理

從同弓形內圓周角的性質可知，ΔAED 與 ΔCEB 是相似三角形，因此

${\frac {EA}{EC}}={\frac {ED}{EB}}$

整理可得

$EA\cdot EB=EC\cdot ED$

證明完畢。

割線定理

從同弓形內圓周角的性質可知，ΔPAM 與 ΔPNB 是相似三角形，因此

${\frac {PA}{PM}}={\frac {PN}{PB}}$

整理可得

$PA\cdot PB=PM\cdot PN$

證明完畢。

切割線定理

從內錯弓形圓周角的性質可知，ΔPAT 與 ΔPTB 是相似三角形，因此

${\frac {PA}{PT}}={\frac {PT}{PB}}$

整理可得

$PA\cdot PB={PT}^{2}$

證明完畢。

參見

• 根軸——到兩圓圓冪相等的點的軌跡