笛卡儿叶形线

笛卡尔叶形线是一个代数曲线,首先由笛卡儿在1638年提出。笛卡儿叶形线的隐式方程为:

a=1

极坐标中的方程为:

這個名字來自 拉丁文folium ,意思是 "leaf"(葉子)。

曲线的特征

切线的方程

利用隐函数的求导法则,我们可以求出y':

 

利用直线的点斜式方程,我们可以求出点 处的切线方程:

 

水平和竖直切线

 时,笛卡儿叶形线的切线是水平的。所以:

 

 时,笛卡儿叶形线的切线是竖直的。所以:

 

这可以通过曲线的对称来解释。我们可以看到,曲线有两条水平切线和两条竖直切线。笛卡儿叶形线关于 对称,所以如果水平切线有坐标 的话,则一定有一个对应的竖直切线,坐标为 

渐近线

曲线有一条渐近线

 

这个渐近线的斜率是-1,x截矩和y截矩都是-a。

参考文献

  • Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 218, 1987.
  • Gray, A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 77-82, 1997.
  • Lawrence, J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, pp. 106-109, 1972.
  • MacTutor History of Mathematics Archive. "Folium of Descartes." http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Foliumd.html页面存档备份,存于互联网档案馆).
  • Stroeker, R. J. "Brocard Points, Circulant Matrices, and Descartes' Folium." Math. Mag. 61, 172-187, 1988.
  • Yates, R. C. "Folium of Descartes." In A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 98-99, 1952.