罗素悖论

英國哲學家羅素提出的悖論
(重定向自第三次數學危機

罗素悖论(英語:Russell's paradox),是英國哲學家伯特兰·罗素於1901年提出的悖论,是一个关于的内涵问题。

罗素悖论有一些更为通俗的描述,如理发师悖论、书目悖论。但理髮師悖論被一些人認為只是罗素悖论的一種描述方式,僅以理髮師悖論並無法完全敘述羅素悖論。罗素悖论在类的理论中通过内涵公理而得到解决。

定义

 ,那么 

我们通常希望,任给一个性質(例如「年滿三十歲」就是一個性質),满足该性質的所有集合總可以组成一个集合。但这样的企图将导致悖论。

设有一性質 ,並以一性質函数 表示,且其中的自變量 具有特性 。现假设由性质 能夠确定一个滿足性質 的集合 ——也就是说  。那么, 是否成立?

首先,若 ,则  的元素,那么 具有性质 ,由性質函数 可以得知 

其次,若 ,根據定義, 是由所有滿足性質 的類組成,也就是说, 具有性质 ,所以 

通俗诠释

理发师悖论

小城里的理发师放出豪言:他要为城裡人刮鬍子,而且一定只要為城里所有“不为自己刮鬍子的人”刮鬍子。

但问题是:理发师该为自己刮鬍子吗?如果他为自己刮鬍子,那么按照他的豪言“只为城里所有不为自己刮鬍子的人刮鬍子”他不应该为自己刮鬍子;但如果他不为自己刮鬍子,同样按照他的豪言“一定要为城里所有不为自己刮鬍子的人刮鬍子”他又应该为自己刮鬍子。

集合论的语言来描述理发师悖论是这样的:小城里的人构成集合 ,对于每个小城里的人 可以构造一个 的子集 ,即 给属于 的人刮鬍子。那么,如果城里人 给自己刮鬍子,则 ,如果 不给自己刮鬍子,则 ,如果 不给任何人刮鬍子,则  为空,即 。设理发师为 ,则理发师的豪言就是: 。问题是:如果 ,这将与 的定义矛盾,但如果 ,根据 的定义,又应该有 。理发师悖论是个逻辑悖论。用集合论语言来描述并不是必需的,只是为了将来更容易说明它与罗素悖论不是一回事。

書目悖論

书目悖论(英語:Catalogue Paradox)是另一种罗素悖论的通俗解释。其内容为,假设有一图书馆编制了一部书目,有且仅有列出那些未列出自身的书目,那么这部书目会列出自身吗?[1]

解决方案

当一个句子、想法或公式引用自身时,就会出现自指。直到现在,真正意义上的悖论,其问题几乎都是自指或自相关而引起。[2] 尽管陈述可以是自指并且不自相矛盾(“This statement is written in English”是真实且非自相矛盾的带有自指的陈述),但自指是悖论的一个常见要素。根據路德維希·維根斯坦的《邏輯哲學論》,任何命題不能包含自身,同理一個函數不能包含自身。

罗素悖论中,在逻辑上它们都有无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。因此,罗素提出了恶性循环原则英语Vicious_circle_principle,禁止使用包含被定义对象本身的的集合来定义该对象。[2]逻辑系统中,如果要求任何命题不能违反恶性循环原则,则可以避免类似罗素悖论等自指性悖论。

参考资料

  1. ^ Curry, H. B, Haskell B. Foundations of mathematical logic. New York: Dover Publications. 1977: 5. ISBN 9780486634623. 
  2. ^ 2.0 2.1 Bolander, Thomas. Self-Reference (Stanford Encyclopedia of Philosophy/Summer 2020 Edition). [2020-12-28]. (原始内容存档于2021-06-10). In 1985, Yablo succeeded in constructing a semantic paradox that does not involve self-reference in the strict sense. ... Instead, it consists of an infinite chain of sentences, each sentence expressing the untruth of all the subsequent ones.  

参见