累积分布函数

累积分布函数（英語：cumulative distribution function，CDF）或概率分布函数，简称分布函数，是概率密度函數的积分，能完整描述一個實随机变量$X$的概率分佈。

指数分布的累积分布函数

正态分布的累积分布函数

在標量連續分佈的情況下，它給出了從負無窮到$x$的概率密度函數下的面積。 累積分佈函數也用於指定多元隨機變量的分佈。

定義

對於所有實數值的随机变量$X$ ，累积分布函数定義如下：

$$F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)$$

Eq.1

其中右侧表示随机变量$X$取值小于或等于$x$的概率。

對於$X$位于半闭区间$(a,b]$ 的概率，其中$a<b$，因此定義是:

$$\operatorname {P} (a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)$$

Eq.2

在上面的定義中，“小於或等於”符號“≤”是一種約定，不是普遍使用的（例如匈牙利文獻使用“<”），但這種區別對於離散分佈很重要。二項式分布和泊松分布的表格的正確使用取決於此約定。此外，像數學家保羅·皮埃爾·萊維(Paul Lévy)的特徵函數反演公式等重要公式也依賴於“小於或等於”公式。

性質

• 有界性
  • $\lim _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0$
  • $\lim _{x\to +\infty }F_{X}(x)=1$
• 單調性：
  • $F_{X}(x_{1})\leq F_{X}(x_{2}),\ {\mbox{if}}\,x_{1}<x_{2}$
• 右連續性：
  • $\lim _{x\rightarrow x_{0}^{+}}F_{X}(x)=F_{X}(x_{0})$

$X$之值落在一區間$(a,b]$之內的機率為

$\operatorname {P} (a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)$

一隨機變數$X$的CDF與其PDF的關係為

$F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(t)\,dt$

反函数

若累积分布函数 $F$ 是连续的严格增函数，则存在其反函数$F^{-1}(y),y\in [0,1]$。累积分布函数的反函数可以用来生成服从该随机分布的随机变量。设若$F_{X}(x)$是概率分布$X$的累积分布函数，并存在反函数$F_{X}^{-1}$。若$a$是$[0,1)$区间上均匀分布的随机变量，则$F_{X}^{-1}(a)$服从$X$分布。

互补累积分布函数

互补累積分布函数（complementary cumulative distribution function、CCDF），是对连续函数，所有大于$a$的值，其出现概率的和。

$F(a)=P(x>a)$

參見

• 機率密度函數
• 機率質量函數