自伴算子

数学、尤其是泛函分析中,向量空间 上的自伴算子是一类特殊的线性算子自同态),其伴随算子是其自身。根据不同的需要,可以讨论 拓扑向量空间赋范向量空间巴拿赫空间乃至希尔伯特空间的情况,使得伴随算子、自伴算子可以具有更丰富的性质,一个重要的例子是希尔伯特空间上自伴算子的谱定理

是具有规范正交基的有限维复向量空间,其上自伴算子在该基下的矩阵埃尔米特矩阵——该矩阵等于自身的共轭转置。有限维的谱定理表明,对于一个算子 ,总能找到 上的规范正交基使得 在该基下的矩阵是一个对角矩阵,且这些对角元都是实数

无穷维希尔伯特空间上的自伴算子的谱定理与此类似:一个算子是自伴的,当且仅当其等价于一个实值乘法算子。不过,黑林格-特普利茨定理表明了定义于全空间的自伴算子必然是有界的,从而无界算子至多只能定义在全空间的一个稠密子空间上,故对于无界算子须对定义域的问题多加注意。定义域的问题造成了对称算子和自伴算子的区分,而这区分对于谱定理等结论而言是至关重要的。

自伴算子在量子力学中也有重要地位。在量子力学公理的狄拉克-冯诺伊曼表述英语Dirac–von Neumann axioms中,位置动量角动量自旋等物理可观测量是由希尔伯特空间上的自伴算子表示。在哈密顿算子的谱(能级)具有重要的物理意义的同时,哈密顿算子中的动能项通常由导数算子构成,而无穷维空间中的导数算子是典型的无界算子。

量子力學

量子力學裏,自伴算子,又稱為自伴算符,或厄米算符Hermitian operator),是一種等於自己的厄米共軛算符。給予算符 和其伴隨算符 ,假設  ,則稱 為厄米算符。厄米算符的期望值可以表示量子力学中的物理量。

可觀察量

由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以,可觀察量 的期望值是實值的:

 

對於任意量子態 ,這關係都成立;

 

根據伴隨算符的定義,假設  的伴隨算符,則 。因此,

 

這正是厄米算符的定義。所以,表示可觀察量的算符 ,都是厄米算符。

可觀察量,像位置動量角動量,和自旋,都是用作用於希爾伯特空間的自伴算符來代表。哈密頓算符 是一個很重要的自伴算符,表達為

 

其中, 是粒子的波函數 約化普朗克常數 質量 位勢

哈密頓算符所代表的哈密頓量是粒子的總能量,一個可觀察量

動量是一個可觀察量,動量算符應該也是厄米算符:選擇位置空間,量子態 的波函數為 

 

對於任意量子態  。所以,動量算符確實是一個厄米算符。

參考文獻

  • Rudin, Walter. Functional Analysis. Boston, Mass.: McGraw-Hill Science, Engineering & Mathematics. 1991. ISBN 978-0-07-054236-5. 
  • Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward. Topological vector spaces. Monographs and textbooks in pure and applied mathematics 2. ed. Boca Raton: CRC Press. 2011. ISBN 978-1-58488-866-6. 
  • Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 96–106. ISBN 0-13-111892-7.