自伴算子
在数学、尤其是泛函分析中,向量空间 上的自伴算子是一类特殊的线性算子(自同态),其伴随算子是其自身。根据不同的需要,可以讨论 为拓扑向量空间、赋范向量空间、巴拿赫空间乃至希尔伯特空间的情况,使得伴随算子、自伴算子可以具有更丰富的性质,一个重要的例子是希尔伯特空间上自伴算子的谱定理。
若 是具有规范正交基的有限维复向量空间,其上自伴算子在该基下的矩阵是埃尔米特矩阵——该矩阵等于自身的共轭转置。有限维的谱定理表明,对于一个算子 ,总能找到 上的规范正交基使得 在该基下的矩阵是一个对角矩阵,且这些对角元都是实数。
无穷维希尔伯特空间上的自伴算子的谱定理与此类似:一个算子是自伴的,当且仅当其酉等价于一个实值乘法算子。不过,黑林格-特普利茨定理表明了定义于全空间的自伴算子必然是有界的,从而无界算子至多只能定义在全空间的一个稠密子空间上,故对于无界算子须对定义域的问题多加注意。定义域的问题造成了对称算子和自伴算子的区分,而这区分对于谱定理等结论而言是至关重要的。
自伴算子在量子力学中也有重要地位。在量子力学公理的狄拉克-冯诺伊曼表述中,位置、动量、角动量和自旋等物理可观测量是由希尔伯特空间上的自伴算子表示。在哈密顿算子的谱(能级)具有重要的物理意义的同时,哈密顿算子中的动能项通常由导数算子构成,而无穷维空间中的导数算子是典型的无界算子。
量子力學
在量子力學裏,自伴算子,又稱為自伴算符,或厄米算符(Hermitian operator),是一種等於自己的厄米共軛的算符。給予算符 和其伴隨算符 ,假設 ,則稱 為厄米算符。厄米算符的期望值可以表示量子力学中的物理量。
可觀察量
由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以,可觀察量 的期望值是實值的:
- 。
對於任意量子態 ,這關係都成立;
- 。
根據伴隨算符的定義,假設 是 的伴隨算符,則 。因此,
- 。
這正是厄米算符的定義。所以,表示可觀察量的算符 ,都是厄米算符。
可觀察量,像位置,動量,角動量,和自旋,都是用作用於希爾伯特空間的自伴算符來代表。哈密頓算符 是一個很重要的自伴算符,表達為
- ;
其中, 是粒子的波函數, 是約化普朗克常數, 是質量, 是位勢。
動量是一個可觀察量,動量算符應該也是厄米算符:選擇位置空間,量子態 的波函數為 ,
- 。
對於任意量子態 , 。所以,動量算符確實是一個厄米算符。
參考文獻
- Rudin, Walter. Functional Analysis. Boston, Mass.: McGraw-Hill Science, Engineering & Mathematics. 1991. ISBN 978-0-07-054236-5.
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- Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 96–106. ISBN 0-13-111892-7.