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超實數」。
在數學上,超現實數系統(英語:Surreal Numbers)是一種連續統,其中含有實數以及無窮量,即無窮大(小)量,其絕對值大(小)於任何正實數。超現實數與實數有許多共同性質,包括其全序關係「≤」以及通常的算術運算(加減乘除);也因此,它們構成了有序域[註 1]。在嚴格的集合論意義下,超現實數是可能出現的有序域中最大的;其他的有序域,如有理數域、實數域、有理函數域、列維-奇維塔域、上超實數域和超實數域等,全都是超現實數域的子域。超現實數域也包含可達到的、在集合論裡構造過的所有超限序數。
超現實數是由約翰·何頓·康威(John Horton Conway)所定義和構造的。這個名稱早在1974年便已由高德納(Donald Knuth)在他的書《研究之美》[註 2][1][2]中就被引進了。《研究之美》是一部中短篇數學小說,而值得一提的是,這種把新的數學概念在一部小說中提出來的情形是非常少有的。在這部由對話體寫成的著作裡,高德納造了「surreal number」一詞,用來指稱康威起初只叫做「number」(數)的這個新概念。康威樂於採用新的名稱,後來在他1976年的著作《論數字與博弈》(On Numbers and Games)中就描述了超現實數的概念並使用它來進行了一些博弈分析。
概述
康威[3]使用递归构造了超现实数,其中每个数都是两个数集构成的序对,记为 。这两个集合要求 里的每个元素都严格小于每个 里的元素。不同的序对可能表达同样的数字: 。
整数及二进分数
让我们先来看几个简单的例子。
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因此整数都是超现实数。(以上几行是定义而非等式。)
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至此我们可以通过超现实数定义二进分数(分母为2的幂次的分数)。
其他实数
为了定义更多的实数,我们可以将使用无限的左右集合: , ,事实上可以同样地使用二进制展开的方法定义出所有实数。
无穷数
根据归纳法,我们可以构造出 , 等无穷大的数, 等无穷小数。以上超现实数皆不属于实数。
更多的数
我们定义 。
若 且 ,那么 ,这在直观上等价于“ 是在第 天中出生的”。
那么我们可以观察发现:
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- ,其中
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我们将超现实数集合称作 。
序关系
给定 ,我们(递归地)定义 当且仅当以下两命题同时成立:
- 没有一个 符合 ,
- 没有一个 符合 。
那么可以自然地定义 。可以证明,这样的二元关系是一个全序关系。
我们分别将 称为 负、 正、 非正、 非负。
我们定义 表示 与 同时不成立。事实上这样的二元关系在超现实数中不可能存在,但是这个关系会在之后的博弈章节出现。
运算
加法
我们定义超现实数之间的加法为 ,其中 。
加法逆元
我们定义负号(加法逆元)为 ,其中 。
可以验证这两个运算构成了(真类上的)阿贝尔群。
乘法
我们定义乘法运算为 ,其中 。
乘法逆元
我们定义(正数的)乘法逆元为 ,这样除法就是 。我们可以发现这个定义是递归的,但是实际上这个数字是良定义的:我们取 那么 会有一个 作为左项,导致了 会是一个右项。这又意味着 作为左项、 作为右项,以此类推,所以我们有 (考虑两边的序列在实数中分别收敛到 ,因此是相容的)。
对于负数,我们定义 。
子集对应
有理数、实数、序数分别是超现实数的子集。
有理数
所有二进分数都可以定义为超现实数,而所有分数都可以表示为两个整数之比,因此所有有理数都可以表示为超现实数。
实数
在定义出了有理数之后,使用戴德金分割可以立刻将实数映射到超现实数中。
假设 ,其中 ,那么立刻可知存在 是 的一个超现实数表示,其中 是有理数到超现实数的域同態。
序数
我们将所有序数定义为小于它的序数构成的集合[4]。所有序数的全体记为 ,那么我们有:
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这样的同态可以保持序关系的结构,但是并不能保证算术的一一对应,比如 这一式子的值在序数中的结果是 ,而在超现实数中则是 .
博弈
暫譯術語
- 超現實數(Surreal)
- 無窮量(Infinitesimal)
- 格羅滕迪克宇集
注释
来源