超現實數

(重定向自超实数 (博弈)
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圓周率
自然對數的底
虛數單位
無限大

數學上,超現實數系統(英語:Surreal Numbers)是一種連續統,其中含有實數以及無窮量,即無窮)量,其絕對值大(小)於任何正實數。超現實數與實數有許多共同性質,包括其全序關係「≤」以及通常的算術運算(加減乘除);也因此,它們構成了有序域[註 1]。在嚴格的集合論意義下,超現實數是可能出現的有序域中最大的;其他的有序域,如有理數域實數域有理函數域列維-奇維塔域英语Levi-Civita field上超實數域英语Superreal number超實數域等,全都是超現實數域的子域。超現實數域也包含可達到的、在集合論裡構造過的所有超限序數

超现实数树的可视化。

超現實數是由約翰·何頓·康威(John Horton Conway)所定義和構造的。這個名稱早在1974年便已由高德納(Donald Knuth)在他的書《研究之美》[註 2][1][2]中就被引進了。《研究之美》是一部中短篇數學小說,而值得一提的是,這種把新的數學概念在一部小說中提出來的情形是非常少有的。在這部由對話體寫成的著作裡,高德納造了「surreal number」一詞,用來指稱康威起初只叫做「number」(數)的這個新概念。康威樂於採用新的名稱,後來在他1976年的著作《論數字與博弈》(On Numbers and Games)中就描述了超現實數的概念並使用它來進行了一些博弈分析。

概述

康威[3]使用递归构造了超现实数,其中每个数都是两个数集构成的序对,记为  。这两个集合要求   里的每个元素都严格小于每个   里的元素。不同的序对可能表达同样的数字: 

整数及二进分数

让我们先来看几个简单的例子。

 
 
 
 
 

因此整数都是超现实数。(以上几行是定义而非等式。)

 
 
 

至此我们可以通过超现实数定义二进分数(分母为2的幂次的分数)。

其他实数

为了定义更多的实数,我们可以将使用无限的左右集合:  ,事实上可以同样地使用二进制展开的方法定义出所有实数。

无穷数

根据归纳法,我们可以构造出    等无穷大的数,  等无穷小数。以上超现实数皆不属于实数。

更多的数

我们定义  

  ,那么  ,这在直观上等价于“ 是在第 天中出生的”。

那么我们可以观察发现:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  ,其中 
  •  

我们将超现实数集合称作  

序关系

给定  ,我们(递归地)定义   当且仅当以下两命题同时成立:

  • 没有一个   符合  
  • 没有一个   符合  

那么可以自然地定义  。可以证明,这样的二元关系是一个全序关系

我们分别将   称为   负、   正、   非正、   非负。

我们定义   表示    同时不成立。事实上这样的二元关系在超现实数中不可能存在,但是这个关系会在之后的博弈章节出现。

运算

加法

我们定义超现实数之间的加法 ,其中  

加法逆元

我们定义负号(加法逆元)为  ,其中  

可以验证这两个运算构成了(真类上的)阿贝尔群

乘法

我们定义乘法运算为 ,其中  

乘法逆元

我们定义(正数的)乘法逆元 ,这样除法就是  。我们可以发现这个定义是递归的,但是实际上这个数字是良定义的:我们取  那么   会有一个   作为左项,导致了  会是一个右项。这又意味着   作为左项、  作为右项,以此类推,所以我们有  (考虑两边的序列在实数中分别收敛到  ,因此是相容的)。

对于负数,我们定义  

子集对应

有理数实数序数分别是超现实数的子集。

有理数

所有二进分数都可以定义为超现实数,而所有分数都可以表示为两个整数之比,因此所有有理数都可以表示为超现实数。

实数

在定义出了有理数之后,使用戴德金分割可以立刻将实数映射到超现实数中。

假设 ,其中  ,那么立刻可知存在    的一个超现实数表示,其中   是有理数到超现实数的域同態。

序数

我们将所有序数定义为小于它的序数构成的集合[4]。所有序数的全体记为 ,那么我们有:

  •  

这样的同态可以保持序关系的结构,但是并不能保证算术的一一对应,比如   这一式子的值在序数中的结果是  ,而在超现实数中则是  .

博弈

如果去除超现实数定义中对所有   的约定,那么这样(递归)定义出来的真类被称做游戏[5]。对其仍然可以(一模一样的)定义加法、加法逆元以及比较。

显然,所有的超现实数都是游戏,但并非所有游戏都是超现实数,例如   就不是,其满足  

可以发现,所有的游戏都体现了一个两人轮流、确定、公开的博弈游戏,其中左集合表示第一位玩家(下称左玩家)可以走到的局面,右集合则表示第二位玩家(下称右玩家)的选择,不能操作者负。

两个游戏的和的意义就是同时进行两个游戏,而每个玩家选择其中一个进行操作,不能操作者负。

我们可以发现,这个游戏的胜负取决于    的相对关系。

  •  ,则后手必胜。
  •  ,则左玩家必胜。
  •  ,则右玩家必胜。
  •  ,则先手必胜(英語:fuzzy game)。

有以下这些特殊的游戏[6]

  •  
  •  
  •  

可以发现,关于他们有这么几个性质:

  •  
  •  
  •   (比所有超现实数更接近0)
  •  
  •  

可以用于分析复杂的游戏。

暫譯術語

  • 超現實數(Surreal)
  • 無窮量(Infinitesimal)
  • 格羅滕迪克宇集

注释

  1. ^ 但當初在使用馮諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論來建立超現實數理論時,全體超現實數並不構成集合,而只構成真類,因此使用「」(field)此一術語看來不甚精確;在嚴格區分集合和真類顯然重要時,有些作者會使用首字母大寫的「Field」或全大寫的「FIELD」來指稱那些其實是真類,但又具有域的算術性質的對象。暫時可稱作「琙」(音同域)或「真類域」。如想得到一個真正的、作為集合的域,可以把構造限制在格羅滕迪克宇集中,這樣的話就得到一個集合,其基數為一種強不可達基數;又或者使用另一種形式的集合論,在其中,任何超限遞歸構造總要在可數序數(比如   ,即艾普塞朗數)處停下。
  2. ^ Surreal number正式中文譯名尚未出現,但英語Surreal英语Surreal一詞與Surrealism聯繫起來的話,在中文裡後者譯為「超現實主義」,因此「超現實數」便作為surreal number的可能譯名。

来源

  1. ^ 《研究之美》(Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness)
  2. ^ 現在本書的中文譯文已經在大陸出版,見存档副本. [2012-05-10]. (原始内容存档于2012-03-16). 
  3. ^ Conway, John H. On Numbers and Games 2. CRC Press. 2000-12-11 [1976]. ISBN 9781568811277. (原始内容存档于2018-03-27) (英语). 
  4. ^ Weisstein, Eric W. (编). Ordinal Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2018-03-27] (英语). 
  5. ^ E. Berlekamp; J. H. Conway; R. Guy. Winning Ways for your Mathematical Plays I. Academic Press. 1982. ISBN 0-12-091101-9. 
    E. Berlekamp; J. H. Conway; R. Guy. Winning Ways for your Mathematical Plays II. Academic Press. 1982. ISBN 0-12-091102-7. 
  6. ^ Weisstein, Eric W. (编). Surreal Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2018-03-27] (英语).