连续映射定理

概率论的定理

概率论中,连续映射定理(英語:Continuous mapping theorem)指出连续函数保持极限,即使其参数是一列随机变量

海涅定义下的连续函数是指将收敛数列映为收敛数列的函数:如果 那么 。连续映射定理指出,如果把确定的数列替换为一列随机变量,把通常的收敛定义替换为某种随机变量的收敛定义,那么这个命题依然成立。 这个定理第一次由Mann & Wald (1943)证明,因此有时又被称作Mann–Wald定理。[1]

敍述

  度量空间 中的随机元素,又設 為自 至另一個度量空間 的函數,其不连续点 滿足 ,則:[2][3]

 

其中箭嘴上標的d、p、a.s.分別表示依分佈收斂依概率收斂殆必收斂

参考資料

  1. ^ Amemiya 1985,第88頁
  2. ^ Billingsley, Patrick. Convergence of Probability Measures. John Wiley & Sons. 1969: 31 (Corollary 1). ISBN 0-471-07242-7. 
  3. ^ Van der Vaart, A. W. Asymptotic Statistics. New York: Cambridge University Press. 1998: 7 (Theorem 2.3) [2022-05-02]. ISBN 0-521-49603-9. (原始内容存档于2020-07-28).