逻辑等价
此條目没有列出任何参考或来源。 (2021年10月9日) |
在逻辑中，陈述p和q是逻辑等价的，如果它们有相同的逻辑内容。
p和q是语法等价的，如果每个都可以证明自另一个。p和q是语义等价的，如果它们在所有模型中有相同的真值。
逻辑等价经常混淆于实质等价。前者是在元语言中的一个陈述，断言关于目标语言中的陈述p和q的某个事情。而p和q的实质等价（常写为"p ↔ q"）自身是在目标语言中另一个陈述。但它们是有联系的，p和q是语法等价的，当且仅当p ↔ q是一个定理，而p和q是语义等价的，当且仅当p ↔ q是重言式。
逻辑等价有时表示为p ≡ q或p ⇔ q。但是，后者记号也用于实质等价。
逻辑等价公式
| 等价关系 | 关系名称 |
|---|---|
| p∧T≡p p∨F≡p |
Identity laws 恒等律 |
| p∨T≡T p∧F≡F |
Domination laws 支配律 |
| p∨p≡p p∧p≡p |
Idempotent laws 幂等律 |
| ﹁(﹁p)≡p | Double negation laws 双非律 |
| p∨q≡q∨p p∧q≡q∧p |
Commutative laws 交换律 |
| (p∨q)∨r≡p∨(q∨r) (p∧q)∧r≡p∧(q∧r) |
Associative laws 结合律 |
| p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r) p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r) |
Distributive laws 分配律 |
| ﹁(p∧q)≡﹁p∨﹁q ﹁(p∨q)≡﹁p∧﹁q |
De Morgan's laws 德摩根律 |
| p∨(p∧q)≡p p∧(p∨q)≡p |
Absorption laws 吸收律 |
| p∨﹁p≡T p∧﹁p≡F |
Negation laws 否定律 |
包括蕴涵的逻辑等价：
- p→q≡﹁p∨q
- p→q≡﹁q→﹁p
- p∨q≡﹁p→q
- p∧q≡﹁(p→﹁q)
- ﹁(p→q)≡p∧﹁q
- (p→q)∧(p→r)≡p→(q∧r)
- (p→q)∨(p→r)≡p→(q∨r)
- (p→r)∧(q→r)≡(p∨q)→r
- (p→r)∨(q→r)≡(p∧q)→r
- p→q≡﹁p∨q
包含双蕴涵（逻辑双条件）的逻辑等价：
- p↔q≡(p→q)∧(q→p)
- p↔q≡﹁p↔﹁q
- p↔q≡(p∧q)∨(﹁p∧﹁q)
- ﹁(p↔q)≡p↔﹁q
- p↔q≡(p→q)∧(q→p)
例子
John高于Fred≡≡（等价于）≡≡Fred矮于John。