递归集合

在可计算性理论中，一个自然数的子集被称为递归的、可计算的或具可判定性，如果我们可以构造一个算法，使之能在有限时间内终止并判定一个给定元素是否属于这个集合。更一般的集合的类叫做递归可枚举集合。这些集合包括递归集合，对于这种集合，只需要存在一个算法，当某个元素位于这个集合中时，能够在有限时间内给出正确的判定结果，但是当元素不在这个集合中时，算法可能会永远运行下去（但不会给出错误答案）。

定义

自然数的子集 S 被称为递归的，如果存在一个全可计算函数

f:S\to \mathbb {N}

使得

f(x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{if}}\ x\in S\\\neq 0&{\mbox{if}}\ x\notin S\end{matrix}}\right.

换句话说，集合 S 是递归的，当且仅当指示函数 $1_{S}$ 是可计算的。

例子

空集
自然数
自然数的所有有限子集（有限子集并非可数子集，后者可能有无限多的元素）
素数的集合
递归语言是在形式语言字母表之上所有可能词的集合中的递归集合。

性质

如果 $A$ 是递归集合，则 $A$ 的补集是递归集合。如果 $A$ 和 $B$ 是递归集合，则 $A\cap B$ 、 $A\cup B$ 和 $A\times B$ 是递归集合。集合 $A$ 是递归集合，当且仅当 $A$ 和 $A$ 的补集是递归可枚举集合。一个递归集合在全可计算函数下的原像（preimage）是递归集合。

参见