隐函数

在數學中，隱式方程（英語：implicit equation）是形同$f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=0$的關係，其中$f$是多元函數。比如單位圓的隱式方程是$x^{2}+y^{2}-1=0$。

隱函数（implicit function）是由隱式方程間接定義的函數，比如 $y={\sqrt {1-x^{2}}}$ 是由 $x^{2}+y^{2}-1=0$ 確定的函數。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数，也就是通常所说的函数，如$y=\cos(x)$。

隱函數定理說明了隱式方程在什麼情況下會給出定義良好的隱函數。

例子

反函数

隐函数的一个常见类型是反函数。若$f$是一个函数，那么$f$的反函数记作$f^{-1}$, 是给出下面方程解的函数

$x=f(y)$

用x表示y。这个解是

$y=f^{-1}(x).$

直观地，通过交换f自变量和因变量的位置就可以得到反函数。换一种说法，反函数给出该方程对于$y$的解

$R(x,y)=x-f(y)=0.\,$

例子

1. 对数函数 $\ln x$ 给出方程$x-e^{y}=0$或等价的$x=e^{y}$的解$y=\ln x$。 这里$f(y)=e^{y}$并且$f^{-1}(x)=\ln x$。
2. 朗伯W函數則可以解出$x-ye^{y}=0$的$y$值。

代数函数

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一个代数函数是满足自身多项式系数的多项式方程的函数。例如，单变量 $x$ 的代数函数给出一个方程中 $y$ 的解。

$a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\,$

其中係數 $a_{i}(x)$ 為 $x$ 的多項式函數。

代數函數在數學分析和代数几何中扮演重要角色，我們再拿單位圓方程式來當作代數函數的範例：

$x^{2}+y^{2}-1=0.\,$

那麼 $y$ 的顯函數解顯然是：

$y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,$

但其實我們不一定要把它的顯函數解寫出來，它也可以直接利用隱函數來表達。

對於y的二次、三次和四次方程，可以找到只包含有限次四則運算和開方運算的顯函數解, 但這并不适用于包括五次在内的更高次数的方程（參見阿贝尔-鲁菲尼定理），例如：

$y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0.\,$

但是，我们仍然可以以隐函数 y = g(x) 的方式来表达。

隱函數的导数

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：

方法一

• 把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

示例

把一元隐函数$y=g(x)$看作二元函数$f(x,y)=0$，若欲求${\frac {dy}{dx}}$，對$f$取全微分，可得$df(x,y)=f_{x}dx+f_{y}dy=0$，經過移項可得${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {f_{x}}{f_{y}}}$

（式中$f_{x}$表示$f(x,y)$關於$x$的偏导数${\frac {\partial f}{\partial x}}$，以此類推）。

把2元隐函数$y=g(x,z)$看作3元函数$f(x,y,z)=0$，若欲求${\frac {\partial y}{\partial x}}$，對$f$取全微分，可得$df(x,y,z)=f_{x}dx+f_{y}dy+f_{z}dz=0$ 。

由於所求為${\frac {\partial g(x,z)}{\partial x}}$，令z為常數，即$dz=0$，經過移項可得${\frac {\partial y}{\partial x}}=-{\frac {f_{x}}{f_{y}}}$

方法二

• 針對1元隱函數，把$y$看作$x$的函数，利用鏈式法则在隱函數等式两边分別对$x$求导，再通过移项求得${\frac {dy}{dx}}$的值。
• 針對2元隱函數，把$y,z$看作$x$的函数，利用鏈式法则在隱函數等式两边分別对$x$求导，令$dz=0$，再通过移项求得${\frac {\partial y}{\partial x}}$的值。

示例

• 針對$y^{n}$：

${\frac {d}{dx}}y^{n}=n\cdot y^{n-1}{\frac {dy}{dx}}$

• 針對$x^{m}y^{n}$：

${\frac {d}{dx}}x^{m}y^{n}=n\cdot x^{m}y^{n-1}{\frac {dy}{dx}}+m\cdot x^{m-1}y^{n}$

• 求$\ 12x^{7}-7x^{4}y^{3}+6xy^{5}-14y^{6}+25=10$中y對x的導數。

為了方便辨別相應的導數部分，各項都以不同顏色分開（常數則以黑色表示）。

${\color {Blue}12x^{7}}{\color {Red}-7x^{4}y^{3}}{\color {Green}+6xy^{5}}{\color {Brown}-14y^{6}}+25=10$

1.兩邊皆取其相應的導數，得出

${\color {Blue}12\cdot 7x^{6}}{\color {Red}-7\left(3x^{4}y^{2}{\frac {dy}{dx}}+4x^{3}y^{3}\right)}{\color {Green}+6\left(5xy^{4}{\frac {dy}{dx}}+y^{5}\right)}{\color {Brown}-14\cdot 6y^{5}{\frac {dy}{dx}}}+0=0$

2.移項處理。

${\color {Blue}84x^{6}}{\color {Red}-28x^{3}y^{3}}{\color {Green}+6y^{5}}={\color {Red}21x^{4}y^{2}{\frac {dy}{dx}}}{\color {Green}-30xy^{4}{\frac {dy}{dx}}}{\color {Brown}+84y^{5}{\frac {dy}{dx}}}$

3.提出導數因子。

${\color {Blue}84x^{6}}{\color {Red}-28x^{3}y^{3}}{\color {Green}+6y^{5}}=\left({\color {Red}21x^{4}y^{2}}{\color {Green}-30xy^{4}}{\color {Brown}+84y^{5}}\right)\left({\frac {dy}{dx}}\right)$

4.移項處理。

${\frac {dy}{dx}}={\frac {{\color {Blue}84x^{6}}{\color {Red}-28x^{3}y^{3}}{\color {Green}+6y^{5}}}{{\color {Red}21x^{4}y^{2}}{\color {Green}-30xy^{4}}{\color {Brown}+84y^{5}}}}$

5.完成。得出其導數為${\frac {84x^{6}-28x^{3}y^{3}+6y^{5}}{21x^{4}y^{2}-30xy^{4}+84y^{5}}}$。

6.選擇性步驟：因式分解。

${\frac {dy}{dx}}={\frac {2\left(42x^{6}-14x^{3}y^{3}+3y^{5}\right)}{3y^{2}\left(7x^{4}-10xy^{2}+28y^{3}\right)}}$

參見

• 反函數