雙曲坐標系

在數學裏，雙曲坐標系（英語：Hyperbolic coordinates）是一種二維坐標系統。它可以用來表達一個點在二維平面的第一象限的位置。從雙曲坐標 $(u,\ v)$ 變換到直角坐標 $(x,\ y)$ ：

绘制在欧几里得平面上的双曲坐标：在同一蓝色射线上的所有点有相同的坐标值u，在同一红色双曲线上的所有点有相同的坐标值v。

$u=-{\frac {1}{2}}\log \left({\frac {y}{x}}\right)$ 、

$v={\sqrt {xy}}$ 。

有時候，參數 $u$ 稱為雙曲角，$v$ 稱為幾何平均。

反映射為

$x=ve^{u}$ 、

$y=ve^{-u}$ 。

這是一個連續函數，但不是一個解析函數。

理工科學的應用

在熱力學裏，定溫過程（isothermal process）顯性地跟隨著雙曲路徑，所做的功可以解釋為雙曲角的改變。類似地，等壓過程可以描繪出一條雙曲線，在絕對溫度與氣體密度的象限。