短時距傅立葉變換 (英文：short-time Fourier transform, STFT)是和傅立葉變換相關的一種數學轉換關係，用於時間和頻域之間的分析。
簡單來說，在連續時間的例子中，一個函數可以先乘上僅在一段時間不為零的窗函數 (window function)再進行一維的傅立葉變換。再將這個窗函數沿著時間軸挪移，並做傅立葉變換對時間(t )的積分。在一開始的連續的短時聚傅立葉變換(STFT)中，所表現的是從負無限大到正無限大，寫成數學形式為：
S
T
F
T
{
x
(
)
}
≡
X
(
t
,
f
)
=
∫
−
∞
∞
w
(
t
−
τ
)
x
(
τ
)
e
−
j
2
π
f
τ
d
τ
(
1
)
{\displaystyle \mathbf {STFT} \left\{x()\right\}\equiv X(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(t-\tau )x(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau \qquad (1)}
S
T
F
T
{
x
(
)
}
≡
X
(
t
,
w
)
=
∫
−
∞
∞
w
(
t
−
τ
)
x
(
τ
)
e
−
j
w
τ
d
τ
(
1
)
{\displaystyle \mathbf {STFT} \{x()\}\equiv X(t,w)=\int _{-\infty }^{\infty }w(t-\tau )x(\tau )e^{-jw\tau }\,d\tau \qquad (1)}
其中
w
(
t
)
{\displaystyle w(t)}
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
X
(
τ
,
ω
)
{\displaystyle X(\tau ,\omega )}
x
(
t
)
w
(
t
−
τ
)
{\displaystyle x(t)w(t-\tau )}
X
(
t
,
f
)
=
∫
t
−
B
t
+
B
x
(
τ
)
e
−
j
2
π
f
τ
d
τ
(
2
)
{\displaystyle X(t,f)=\int _{t-B}^{t+B}x(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau \qquad (2)}
因訊號的分析上面，要做壓縮或是簡化時候，通常會使用離散的時間來考慮，因此，離散的短時距傅立葉變換被使用來分析離散的訊號。
第一種表示方式，稱做為直觀的改寫，寫成數學形式表示為：
X
(
n
Δ
t
,
m
Δ
f
)
=
∑
p
=
n
−
Q
n
+
Q
x
(
p
Δ
t
)
e
−
j
2
π
p
m
Δ
t
Δ
f
Δ
t
(
3
)
{\displaystyle X(n\Delta _{t},m\Delta _{f})=\sum _{p=n-Q}^{n+Q}x(p\Delta _{t})e^{-j2\pi pm\Delta _{t}\Delta _{f}}\Delta _{t}\qquad (3)}
對應(2)，
t
=
n
Δ
t
,
f
=
m
Δ
f
,
τ
=
p
Δ
t
,
B
=
Q
Δ
t
,
Q
=
⌊
B
Δ
t
⌋
{\displaystyle t=n\Delta _{t}\ ,f=m\Delta _{f}\ ,\tau =p\Delta _{t}\ ,B=Q\Delta _{t}\ ,Q=\left\lfloor {\frac {B}{\Delta _{t}}}\right\rfloor }
並滿足取樣定理
Δ
t
<
1
2
m
a
x
(
f
)
{\displaystyle \Delta _{t}<{\frac {1}{2max(f)}}}
離散傅立葉變換 ，因此我們可以由離散的數學式子使用快速傅立葉變換 (FFT)來改寫。
第二種表示方式為，以FFT為基礎的改寫方式，寫成數學形式表示為：
X
(
n
Δ
t
,
m
Δ
f
)
=
Δ
t
e
j
2
π
(
Q
−
n
)
m
N
∑
q
=
0
N
−
1
x
1
(
q
)
e
−
j
2
π
q
m
N
(
4
)
{\displaystyle X(n\Delta _{t},m\Delta _{f})=\Delta _{t}e^{j{\frac {2\pi (Q-n)m}{N}}}\sum _{q=0}^{N-1}x_{1}(q)e^{-j{\frac {2\pi qm}{N}}}\qquad (4)}
其中
x
1
(
q
)
=
{
x
(
(
n
−
Q
+
q
)
Δ
t
)
,
0
≤
q
≤
2
Q
0
,
2
Q
<
q
<
N
{\displaystyle x_{1}(q)={\begin{cases}x((n-Q+q)\Delta _{t}),\ \ 0\leq q\leq 2Q\\0,\ \ 2Q<q<N\end{cases}}}
由上式可知，在右半邊的
∑
q
=
0
N
−
1
x
1
(
q
)
e
−
j
2
π
q
m
N
{\displaystyle \sum _{q=0}^{N-1}x_{1}(q)e^{-j{\frac {2\pi qm}{N}}}}
Δ
t
Δ
f
=
1
N
{\displaystyle \Delta _{t}\Delta _{f}={\frac {1}{N}}}
N
≥
2
Q
+
1
{\displaystyle N\geq 2Q+1}
w
(
t
)
{\displaystyle w(t)}
所以第三種形式為，基於快速傅立葉變換的遞迴公式，寫成數學形式表示為：
X
(
n
Δ
t
,
m
Δ
f
)
=
X
(
(
n
−
1
)
Δ
t
,
m
Δ
f
)
−
x
(
(
n
−
Q
−
1
)
Δ
t
)
e
−
j
2
π
(
n
−
Q
−
1
)
m
N
Δ
t
+
x
(
(
n
+
Q
)
Δ
t
)
e
−
j
2
π
(
n
+
Q
)
m
N
Δ
t
(
5
)
{\displaystyle X(n\Delta _{t},m\Delta _{f})=X((n-1)\Delta _{t},m\Delta _{f})\ -\ x((n-Q-1)\Delta _{t})e^{-j{\frac {2\pi (n-Q-1)m}{N}}}\Delta _{t}\ +\ x((n+Q)\Delta _{t})e^{-j{\frac {2\pi (n+Q)m}{N}}}\Delta _{t}\qquad (5)}
但只有在
w
(
t
)
{\displaystyle w(t)}
w
(
t
)
{\displaystyle w(t)}
X
(
n
Δ
t
,
m
Δ
f
)
=
e
−
j
π
m
2
Δ
t
Δ
f
∑
p
=
n
−
Q
n
+
Q
x
(
p
Δ
t
)
e
−
j
π
p
2
Δ
t
Δ
f
e
j
π
(
p
−
m
)
2
Δ
t
Δ
f
Δ
t
(
6
)
{\displaystyle X(n\Delta _{t},m\Delta _{f})=e^{-j\pi m^{2}\Delta _{t}\Delta _{f}}\sum _{p=n-Q}^{n+Q}x(p\Delta _{t})e^{-j\pi p^{2}\Delta _{t}\Delta _{f}}e^{j\pi (p-m)^{2}\Delta _{t}\Delta _{f}}\Delta _{t}\qquad (6)}
若使用CZT來表示STFT時，雖然運算量平均會比第二，三種以FFT基礎模型來的慢，但是可以放寬一個限制條件，
Δ
t
Δ
f
=
1
N
{\displaystyle \Delta _{t}\Delta _{f}={\frac {1}{N}}}
w
(
t
)
{\displaystyle w(t)}
有五種方式都可以得到出最後的結果，因此要來討論複雜度(運算量)的高低，才能更快速的把訊號處理，假設n有T點，m有F點，首先來看第一種直接的改寫，又稱為暴力法，每個n點和m點都要做2Q+1次的運算，我們可以簡單的看出其複雜度為：
T
F
(
2
Q
+
1
)
(
7
)
{\displaystyle TF(2Q+1)\qquad (7)}
第二種以FFT為基礎的模型，因為每個FFT所需乘法個數為
(
N
/
2
)
log
2
(
N
)
{\displaystyle (N/2)\log _{2}(N)}
N
log
2
(
N
)
{\displaystyle N\log _{2}(N)}
(
N
/
2
)
log
2
(
N
)
{\displaystyle (N/2)\log _{2}(N)}
T
N
2
log
2
(
N
)
(
8
)
{\displaystyle T{\frac {N}{2}}\log _{2}(N)\qquad (8)}
第三種FFT為基礎的遞迴公式，只要先算出一個n點的FFT，其他的點數用遞迴的方式就能算出，因此後面是剩下的T-1個點對應到每個F點上的運算量，其複雜度為：
N
2
l
o
g
2
(
N
)
+
2
(
T
−
1
)
F
(
9
)
{\displaystyle {\frac {N}{2}}log_{2}(N)\ +\ 2(T-1)F\qquad (9)}
第四種是將STFT中移動窗型的時域信號所做的離算傅立葉變換(DFT)進行遞迴運算，先在時域信號的前面插入窗函數長度減一的0並且假設並且做DFT，因為一序列的0做DFT也會等於0，因此就可以省去初始進行FFT或是DFT的運算，隨後在使用遞迴公式即可，由DFT的公式可知:
假設起始為一個N的DFT如下式:
X
0
[
k
]
=
∑
k
=
0
N
−
1
x
[
n
]
e
−
j
2
π
n
k
/
N
(
10
)
{\displaystyle X_{0}[k]=\sum _{k=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi nk/N}\qquad (10)}
則當窗函數移動一格時改為做底下的運算:
X
1
[
k
]
=
∑
k
=
0
N
−
1
x
[
n
+
1
]
e
−
j
2
π
n
k
/
N
(
11
)
{\displaystyle X_{1}[k]=\sum _{k=0}^{N-1}x[n+1]e^{-j2\pi nk/N}\qquad (11)}
那麼如果想要直接從第10式的運算結果推得第11式，比較兩條式子可知:
X
1
[
k
]
=
(
X
0
[
k
]
−
x
[
0
]
+
x
[
N
]
)
e
j
2
π
k
/
N
(
12
)
{\displaystyle X_{1}[k]=(X_{0}[k]-x[0]+x[N])e^{j2\pi k/N}\qquad (12)}
由上式可知，只要將前面做完DFT的結果進行遞迴運算並且乘上DFT之迴旋因子可得下一級之結果，因此遞迴的DFT算法其複雜度為:
2
T
F
(
13
)
{\displaystyle 2TF\qquad (13)}
由於此法不是使用FFT作為用算基底，因此不受窗函數長度之限制，在運算上指示進行相同的動作，因此也式晶片設計上做容易被實作。
第三種級第四種方法所使用的遞迴公式式源自於DFT迴旋因子(Twiddle factor)之循環性，因此所使用的窗函數也必須滿足循環性，目前所採用的窗函數中只有矩形函數(Rectangular window)滿足這個特性，若是採沒有循環性之窗函數(高斯窗，三角窗，Hamming窗等)，則遞迴法皆不適用。
最後一種使用CZT來改寫的方式，可以套用CZT的複雜度來計算在
x
(
p
Δ
t
)
e
−
j
π
p
2
Δ
t
Δ
f
{\displaystyle x(p\Delta _{t})e^{-j\pi p^{2}\Delta _{t}\Delta _{f}}}
e
j
π
(
p
−
m
)
2
Δ
t
Δ
f
{\displaystyle e^{j\pi (p-m)^{2}\Delta _{t}\Delta _{f}}}
x
(
p
Δ
t
)
e
−
j
π
p
2
Δ
t
Δ
f
{\displaystyle x(p\Delta _{t})e^{-j\pi p^{2}\Delta _{t}\Delta _{f}}}
T
(
4
Q
+
F
2
log
2
(
4
Q
+
F
)
∗
2
+
2
Q
+
1
+
F
)
≈
T
(
(
4
Q
+
F
)
log
2
(
4
Q
+
F
)
)
(
14
)
{\displaystyle T({\frac {4Q+F}{2}}\log _{2}(4Q+F)*2\ +\ 2Q\ +\ 1\ +\ F)\ \approx \ T((4Q+F)\log _{2}(4Q+F))\qquad (14)}
短時距傅立葉轉換(STFT)可以視為在一段時域信號上用一移動的的窗函數取出片段進行傅立葉轉換的結果，可以獲得該時間點的頻譜分析，然而此法並無法得到該時間點的順時頻率，隨著所採用的窗函數 的不同，會在分析結果的時域及頻域上有不同的解析度及效果。
在作時頻時頻分析時，如果目標是一段完整著時域信號，則通常採用對稱型的窗函數，一般而言對稱型的窗函數必須擁有滿足以下的條件:
1.
w
(
t
)
=
w
(
−
t
)
(
15
)
{\displaystyle w(t)=w(-t)\qquad (15)}
2.
m
a
x
(
w
(
t
)
)
=
w
(
0
)
,
w
(
t
1
)
≥
w
(
t
2
)
∀
|
t
2
|
>
|
t
1
|
(
16
)
{\displaystyle max(w(t))=w(0),w(t_{1})\geq w(t_{2})\quad \forall \quad |t_{2}|>|t_{1}|\qquad (16)}
3.
w
(
t
)
≈
0
∀
t
>>
1
(
17
)
{\displaystyle w(t)\thickapprox 0\quad \forall t>>1\qquad (17)}
以常用的矩形窗為例，窗函數的大小會決定時域及頻域上有不同的影響，假如取較小的窗函數，更能接近時域上的真實性，因此時域上的解析度更好，但是作傅立葉轉換的長度降低了，就造成了頻域上的解析度降低。
反之，若是取較大的矩形窗，有足夠的長度來作DFT，雖然頻域上解析度會變好，但時域上就會相應降低，如下圖:
加伯轉換(Gabor Transform) "
在做時頻分析時，有時也必須面對及時處理的情況，也就是沒有完整的時域信號，只有截止目前的信號，例如地震波的分析或是語音的分析，則傳統的對稱型窗函數則不能達到需求，在實務上若是分析必須使用未來的信號稱為"非因果的(non-causal)"，這樣的系統沒有辦法被實作，解決的方法時將信號進行一段的延遲，再進行分析，這樣一來便可實作，但是必須等同時窗函數右邊的寬度的延遲作為代價，所以在作及時分析的時候，有時會將窗函數的一邊(通常是未來信號的那一邊)縮短來達到短延遲及時分析的效果，如下圖:
Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2009.
Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2018.
Z. Kollar, F. Plesznik and S. Trumpf, "Observer-Based Recursive Sliding Discrete Fourier Transform [Tips & Tricks]," in IEEE Signal Processing Magazine , vol. 35, no. 6, pp. 100-106, Nov. 2018.doi: 10.1109/MSP.2018.2853196
http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=8498081&isnumber=8496891 
![{\displaystyle X_{0}[k]=\sum _{k=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi nk/N}\qquad (10)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cea2b241f384b2ba86e370f4271d7dd1c21b66fc)
![{\displaystyle X_{1}[k]=\sum _{k=0}^{N-1}x[n+1]e^{-j2\pi nk/N}\qquad (11)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdbb03e15026a1c0d2e8c8aeccb4197d3af86b42)
![{\displaystyle X_{1}[k]=(X_{0}[k]-x[0]+x[N])e^{j2\pi k/N}\qquad (12)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46a7b56c267281d3d39f4ef48151f42c5d503eca)
