維費里希素數

若素数$p^{2}|2^{p-1}-1$，則稱為維費里希素数（Wieferich prime）。它最先在1909年阿圖爾·維費里希（Arthur Wieferich）有關費馬大定理的作品描述。

1909年，維費里希證明：$x,y,z$是整數同時$p$是質數使得$x^{p}+y^{p}+z^{p}=0$，並且$p\nmid xyz$，那麼$p$就是維費里希素数。

1910年Mirimanoff擴展這個定理，證明了若$p$符合上面的條件，$p|3^{p-1}$。

梅森數$M_{q}=2^{q}-1$的質因數$p$是維費里希素数若且唯若$p^{2}|2^{q}-1$，顯然，梅森質數不可能是維費里希素数。

尋找

現時已知的維費里希素数只有1093和3511（OEIS:A001220），由W. Meissner在1913年和N. G. W. H. Beeger在1922年各自發現。若有更大的存在，它必須大於$1.25\times 10^{15}$ [1]。雖然1988年J. H. Silverman證明若abc猜想成立，對於任何正整數$a>1$，存在無限個質數$p$使得$p^{2}\nmid a^{p-1}-1$；但「維費里希素数的數量有限」這個猜想仍未證實。

參見

• 沃尔-孙-孙素数
• 沃尔斯滕霍尔姆素数
• 威爾遜質數
• 「同餘」列表