韦尔莱积分法

韦尔莱算法是一种用于求解牛顿运动方程的数值方法,被广泛应用于分子动力学模拟以及视频游戏中。韦尔莱算法的优点在于:数值稳定性比简单的欧拉方法高很多,并保持了物理系统中的时间可逆性与相空间体积元体积守恒的性质。

Carl Størmer首次应用韦尔莱算法求解磁场中运动粒子的轨迹,因此韦尔莱算法又被称为Størmer算法。1967年法国物理学家Loup Verlet将其应用于分子动力学计算,从此韦尔莱算法流行起来。

基本韦尔莱算法

牛顿运动方程为

 

代入到粒子的坐标关于时间步的Taylor展式中

 

 

同理

 

两式相加,得

 

 

新位置的计算误差为四阶,  为时间步。因为韦尔莱算法中不涉及速度,如果希望得到速度,须从轨线中推导速度表达式:

 

速度表示的韦尔莱算法

一般地,速度表示下的韦尔莱算法更为常用,它可以给出同一时间变量下的速度和位置。它实际上与基本的韦尔莱算法等价,精度相同。

首先对位置进行 Taylor 展开

 
 

对两式相减可得

 

将最初的 Verlet 公式中的   换为  

 

代入前式,可得

 

此式即为速度表示的韦尔莱算法。实际常用的计算步骤为,

1.首先通过 Taylor 展开   计算得到位置  

2.由   和系统的相互作用势条件(如果相互作用仅依赖位置  )可以求的力场  

3.由速度表示的韦尔莱公式求出新的速度  

参考文献

  • Daan Frenkel. 第四章. "Understanding Molecular Simulation - From Algorithms to Applications" Academic Press. 2002.