Maple

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MAPLE是一個符號计算和數值計算軟體平臺

Maple

開發者	枫软
首次发布	1982年​（1982）
当前版本	2020.1（2020年6月10日​（2020-06-10））[±]
编程语言	C语言, Java, Maple language
操作系统	跨平台
类型	计算机代数系统
许可协议	私有
网站	www.maplesoft.com/products/maple/

總覽

核心功能

用戶能够直接使用傳統數學符號进行輸入，也可以定制个性化的界面。对于数值计算有额外的支持，能够扩展到任意精度，同时亦支持符號演算及可视化。符號演算的例子参见下文。Maple内建有一种动态的命令行风格的编程语言，该语言支持具有作用域的变量。同时亦有其他語言的接口（C、FORTRAN、Java、Matlab和Visual Basic）。还具有与Excel进行交互的接口。

架构

Maple由一个很小的由C语言编写的内核提供Maple语言。许多功能由各种来源的函数库提供。许多数值计算由NAG数值计算库, ATLAS库, GNU多精度库提供。大部分库由Maple语言编写，并且可查看源代码。

Maple中不同的功能需要不同格式的数值数据。符号表达式在内存中以有向无环图的形式存储。标准界面和计算界面由Java语言编写。经典界面由C语言编写。

版本

版本	年份
Maple 1.0	1982年1月
Maple 1.1	1982年
Maple 2.0	1982年5月
Maple 2.1	1982年6月
Maple 2.15	1982年8月
Maple 2.2	1982年12月
Maple 3.0	1983年5月
Maple 3.1	1983年10月
Maple 3.2	1984年4月
Maple 3.3	1985年3月（第一個公開版本）
Maple 4.0	1986年4月
Maple 4.1	1987年5月
Maple 4.2	1987年12月
Maple 4.3	1989年3月
Maple V	1990年8月
Maple V R2	1992年11月
Maple V R3	1994年3月15日
Maple V R4	1996年1月
Maple V R5	1997年11月1日
Maple 6	2000年1月31日
Maple 6.01	？年？月
Maple 6.02	？年？月
Maple 7.00	2001年5月28日
Maple 7.01	？年？月
Maple 8.00	2002年4月22日
Maple 9.00	2003年6月30日
Maple 9.01	2003年7月10日
Maple 9.02	2003年？月
Maple 9.03	2003年11月5日
Maple 9.50	2004年4月7日
Maple 9.51	2004年8月17日
Maple 9.52	2005年1月21日
Maple 10	2005年5月13日
Maple 10.01	2005年？月
Maple 10.02	2005年11月8日
Maple 10.03	？年？月
Maple 10.04	2006年5月30日
Maple 10.05	2006年6月9日
Maple 10.06	2006年10月2日
Maple 11.0	2007年2月17日
Maple 11.01	2007年7月10日
Maple 11.02	2007年11月10日
Maple 12.0	2008年4月10日
Maple 12.01	2008年10月
Maple 12.02	2008年12月
Maple 13.0	2009年4月13日
Maple 13.01	2009年7月8日
Maple 13.02	2009年7月8日
Maple 14.00	2010年4月5日
Maple 14.01	2010年10月28日
Maple 15	2011年4月13日
Maple 15.01	2011年6月2日
Maple 16	2012年3月28日
Maple 16.01	2012年5月16日/8月27日
Maple 16.02	2012年11月18日
Maple 17.00	2013年2月21日/3月13日/4月10日
Maple 18.00	2014年3月6日
Maple 18.01	2014年5月
Maple 18.01a	2014年7月
Maple 18.02	2014年11月
Maple 2015	2015年3月
Maple 2015.1	2015年11月
Maple 2016	2016年3月2日
Maple 2016.1	2016年4月20日
Maple 2016.1.a	2016年4月27日
Maple 2017	2017年5月25日
Maple 2017.1	2017年6月28日
Maple 2017.2	2017年8月2日
Maple 2017.3	2017年10月3日
Maple 2018.0	2018年3月21日
Maple 2019.0	2019年3月14日

Maple代码示例

简单指令式程序的构造：

myfac := proc(n::nonnegint)
   local out, i;
   out := 1;
   for i from 2 to n do
       out := out * i
   end do;
   out
end proc;

一些简单的函数也可以使用直观的箭头表示法表示

myfac := n -> product( i, i=1..n );

开方

evalf[100](2^1/12)

1.059463094359295264561825294946341700779204317494185628559208431458761646063255722383768376863945569

求根

f:=x^2-63*x+99=0;

solve(f,x);

${\frac {63}{2}}+{\frac {3}{2}}*{\sqrt {(}}397)$, ${\frac {63}{2}}-{\frac {3}{2}}*{\sqrt {(}}397)$

f := x^7+3*x = 7;

solve(f,x);

RootOf($Z^{7}+3Z-7$, index = 1),

RootOf($Z^{7}+3Z-7$, index = 2),

RootOf($Z^{7}+3Z-7$, index = 3),

RootOf($Z^{7}+3Z-7$, index = 4),

RootOf($Z^{7}+3Z-7$, index = 5),

RootOf($Z^{7}+3Z-7$, index = 5),

RootOf($Z^{7}+3Z-7$, index =7),

evalf(%);

• (1.1922047171828134),
• (0.8658388666792263) + (0.9230818802764879) I,
• (0.2099602786426775) + (1.3442579297631496) I,
• (1.2519809466279554) + (0.6424819505558892) I,
• (1.2519809466279554) - (0.6424819505558892) I,
• (0.2099602786426775) - (1.3442579297631496) I,
• (0.8658388666792263) - (0.9230818802764879) I

f := sin(x)^3+5*cosh(x) = 0;

$sin^{3}(x)+5cosh(x)=0$

> solve(f, x);

RootOf($sin^{3}(Z)-arccosh({\frac {-1}{5}}sin(Z)))$

> evalf(%);

0.2873691672 - 1.111497506 I

求解方程和不等式

根据$x-y>6$，寻找$(x+y)^{5}=9$的所有实数解。

solve({x-y > 6, (x+y)^5 = 9}, [x, y])[];

答案： $[x=3^{2/5}-y,\quad y<{\frac {1}{2}}3^{2/5}-3]$

方程组

代数方程组

> p1 := x*y*z-x*y^2-z-x-y; p2 := x*z-x^2-z-y+x; p3 := z^2-x^2-y^2;

> sys := {p1, p2, p3};

> var := {x, y, z};

> solve(sys, var);

{x = 0, y = y, z = -y}, {x = 3, y = 4, z = 5}, {x = 1, y = 0, z = -1}

三角方程组

> f1 := cos(x)+sin(3*y)+tan(5*z) = 0;

> f2 := cos(3*z)+tan(3*y^2)-sin(2*z^3) = 33;

> f3 := tan(4*x+y)-sin(5*y-4*z) = 2*x;

> sys1 := {f1, f2, f3};

> var1 := {x, y, z};

{x, y, z}

> fsolve(sys1, var1);

{x = -10.77771790, y = -2.397849343, z = -7.382158103}

矩阵与行列式

计算矩阵的行列式。

M:= Matrix([[1,2,3]], [a,b,c], [[x,y,z]]);  # 矩阵样例

${\begin{bmatrix}1&2&3\\a&b&c\\x&y&z\end{bmatrix}}$

with(LinearAlgebra)

m:=Determinant(M);

答案：$bz-cy+3ay-2az+2xc-3xb$

朗斯基行列式

with(VectorCalculus);

w:=Wronskian([1,x,x^3+x-1],x)

Matrix(3, 3, {(1, 1) = 1, (1, 2) = x, (1, 3) = x^3+x-1, (2, 1) = 0, (2, 2) = 1, (2, 3) = 3*x^2+1, (3, 1) = 0, (3, 2) = 0, (3, 3) = 6*x})

d:=Determinant(w);

6x

雅可比矩阵

J := Jacobian([r*sin(t)), r^2*cosh(t)], [r, t]);

m:=Matrix(2, 2, {(1, 1) = cos(t), (1, 2) = -r*sin(t), (2, 1) = sinh(t), (2, 2) = r*cosh(t)})

d:=Determinant(m);

sin(t)*r^2*sinh(t)-2r^2cos(t)cosh(t)

海森矩阵

f := x^3+y*cos(x)+t*tan(y))

with(VectorCalculus);

h:=hessian(f,[x,y,t]);

${\begin{bmatrix}6*x-y*cos(x)&-sin(x)&0\\-sin(x)&2*t*tan(y)*(1+tan(y)^{2})&1+tan(y)^{2}\\0&1+tan(y)^{2}&0\end{bmatrix}}$

积分

求$\int \cos \left({\frac {x}{a}}\right)dx$.

int(cos(x/a), x);

答案：$a\sin \left({\frac {x}{a}}\right)$

求$\int \sin \left({\frac {x}{a}}\right)dx$.

int(sin(x/a), x);

答案：$-a\cos \left({\frac {x}{a}}\right)$

注意：Maple在积分时不提供常数项C，必须自行补上。

定积分

> int(cos(x/a), x = 1 .. 5);

16 a sin（1/a)* cos^4(1/a) - 12 a sin^2(1/a)

求解线性微分方程

计算以下线性常微分方程的一个精确解${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}(x)-3y(x)=x$初始条件为$y(0)=0,\quad \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=0}=2$

dsolve( {diff(y(x),x,x) - 3*y(x) = x, y(0)=0, D(y)(0)=2}, y(x) );

答案：$y(x)={\frac {7}{18}}{\sqrt {3}}e^{{\sqrt {3}}x}-{\frac {7}{18}}{\sqrt {3}}e^{-{\sqrt {3}}x}-{\frac {1}{3}}x$

非线性常微分方程

dsolve(diff(y(x), x, x) = x^2*y(x))

解：

$y(x)=C_{1}{\sqrt {(}}x)$BesselI($1 \over 4$,$1 \over 2$$x^{2}$)

+$C_{2}{\sqrt {(}}x)$BesselK($1 \over 4$,$1 \over 2$$x^{2}$)

级数展开

series(tanh(x),x=0,15)

$x-{\frac {1}{3}}\,x^{3}+{\frac {2}{15}}\,x^{5}-{\frac {17}{315}}\,x^{7}$

$+{\frac {62}{2835}}\,x^{9}-{\frac {1382}{155925}}\,x^{11}+{\frac {21844}{6081075}}\,x^{13}+{\mathcal {O}}(x^{15})$

f:=int(exp^cosh(x),x)
series(f,x=0,15);

$ex+{\frac {1}{6}}ex^{3}+{\frac {1}{30}}ex^{5}+{\frac {31}{5040}}ex^{7}+{\frac {379}{362880}}ex^{9}$

$+{\frac {149}{907200}}ex^{11}+{\frac {150349}{6227020800}}ex^{13}+{\frac {4373461}{1307674368000}}ex^{15}+{\mathcal {O}}(x^{17})$

拉普拉斯变换

with(inttrans);

拉普拉斯变换

> f := (1+A*t+B*t^2)*exp(c*t);

$(1+A*t+B*t^{2})*e^{c*t}$

> laplace(f, t, s);

${\frac {1}{s-c}}+{\frac {A}{(s-c)^{2}}}+{\frac {2B}{(s-c)^{3}}}$

反拉普拉斯变换

invlaplace(1/(s-a),s,x)

$e^{ax}$

z := y(t);

y(t)

f := diff(z, t, t)+a*(diff(z, t)) = b*z;

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y(t)+a{\frac {d}{dt}}y(t)=by(t)$

with(inttrans);

g := laplace(f, t, s);

s^2*laplace(y(t), t, s) - D(y)(0) - s y(0)

+ a s^2 laplace(y(t), t, s) - a y(0) = b laplace(y(t), t, s)

invlaplace(g, s, t);

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y(t)+a{\frac {d}{dt}}y(t)=by(t)$

傅里叶变换

with(inttrans);

fourier(sin(x),x,w)

$\Pi$*(Dirac(w-1)+Dirac(w+1))

绘制单变量函数图形

绘制函数$y=x\cdot \sin x$，$x\in (-10,10)$

plot(x*sin(x),x=-10..10);

绘制双变量函数

绘制函数$x^{2}+y^{2}$，$x$和$y$的范围为 -1到1

plot3d(x^2+y^2,x=-1..1,y=-1..1);

绘制函数动画

二维动画

$f:=2*k^{2}/cosh(k*(x-4*k^{2}*t))^{2}$

with(plots);

animate(subs(k = .5, f), x = -30 .. 30, t = -10 .. 10, numpoints = 200, frames = 50, color = red, thickness = 3);

钟形孤立子

三维函数动画

三维动画

with(plots)

animate3d(cos(t*x)*sin(3*t*y), x = -Pi .. Pi, y = -Pi .. Pi, t = 1 .. 2)

求解偏微分方程组

求解偏微分方程组

${\frac {\partial }{\partial x}}v\left(x,t\right)=-u\left(x,t\right)v\left(x,t\right)$

${\frac {\partial }{\partial t}}v\left(x,t\right)=-v\left(x,t\right){\frac {\partial }{\partial x}}u\left(x,t\right)+v\left(x,t\right)\left(u\left(x,t\right)\right)^{2}$

${\frac {\partial }{\partial t}}u\left(x,t\right)+2\,u\left(x,t\right){\frac {\partial }{\partial x}}u\left(x,t\right)-{\frac {\partial ^{2}}{\partial {x}^{2}}}u\left(x,t\right)=0$

条件为$v(x,t)\neq 0$.

eqn1:= diff(v(x, t), x) = -u(x,t)*v(x,t):
eqn2:= diff(v(x, t), t) = -v(x,t)*(diff(u(x,t), x))+v(x,t)*u(x,t)^2:
eqn3:= diff(u(x,t), t)+2*u(x,t)*(diff(u(x,t), x))-(diff(diff(u(x,t), x), x)) = 0:
pdsolve({eqn1,eqn2,eqn3,v(x,t)<>0},[u,v]): op(%);

答案： $v\left(x,t\right)={e^{{\sqrt {{\it {\_c}}_{1}}}x}}{\it {\_C3}}\,{e^{{\it {\_c}}_{1}t}}{\it {\_C1}}+{\frac {{\it {\_C3}}\,{e^{{\it {\_c}}_{1}t}}{\it {\_C2}}}{e^{{\sqrt {{\it {\_c}}_{1}}}x}}},\ \ u\left(x,t\right)=-{\frac {{\sqrt {{\it {\_c}}_{1}}}\left({\it {\_C1}}\,\left({e^{{\sqrt {{\it {\_c}}_{1}}}x}}\right)^{2}-{\it {\_C2}}\right)}{{\it {\_C1}}\,\left({e^{{\sqrt {{\it {\_c}}_{1}}}x}}\right)^{2}+{\it {\_C2}}}}$

积分方程

寻找函数$f$满足积分方程 $f(x)-3\int _{-1}^{1}(xy+x^{2}y^{2})f(y)dy=h(x)$.

eqn:= f(x)-3*Integrate((x*y+x^2*y^2)*f(y), y=-1..1) = h(x):
intsolve(eqn,f(x));

答案：$f\left(x\right)=\int _{-1}^{1}\!\left(-15\,{x}^{2}{y}^{2}-3\,xy\right)h\left(y\right){dy}+h\left(x\right)$

注释

• 现在，MATLAB已改用MuPAD替代了matlab的Maple符号计算内核。

参考文献

• 何青 王丽芬编著《Maple教程》 科学出版社 2010 ISBN 9787030177445
• David Betounes, Partial Differential Equations for Computational Science: With Maple and Vector Analysis Springer, 1998 ISBN 9780387983004
• George Articolo Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple V Academic Press 1998 ISBN 9780120644759

外部链接

• Maple主页 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

参见

• Maxima
• MATLAB
• GNU Octave
• Scilab
• Mathematica