Mason-Stothers定理

Mason-Stothers定理,或簡稱Mason定理,是數學上關於多項式的定理,而這定理類似於整數上的abc猜想。這定理以1981年出版相關論述的Walter Wilson Stothers[1]以及稍後獨立發現這定理的R. C. Mason[2]為名。

此定理陳述如下:

a(t)b(t)c(t)為一個域上彼此互質的多項式、a + b = c的導數不全是0(Vanishing)導數的多項式,那麼有

其中rad(f)f所有相異的不可約多項式的乘積。對於代數閉域而言,這是與f有相同的的最小多項式;在這狀況下,deg(rad(f))即代表f彼此相異的根的數量。[3]

例子

  • 對特徵為0的域而言,abc不全为0(Vanishing)導數的多項式的等價條件是這些多項式不全是常數。對於特徵為p > 0的域而言,假定這些多項式不全是常數並不足夠,像例如說,對特徵為p的域而言,tp + 1 = (t + 1)p這等式可給出三個多項式(其中ab是等號左邊的加數,而c放在等號右邊)的最大次數為p,但其根基(也就是相異的根的數量)的次數僅僅為2
  • a(t) = tnc(t) = (t+1)n可給出使得Mason-Stothers定理等號成立的例子,而這顯示說在一些狀況下,不等式是最佳可能。
  • Mason-Stothers定理的一個推論是費馬最後定理在函數域上的類比:對於彼此互質的多項式abc,若a(t)n + b(t)n = c(t)n且相關聯的域的特徵不能除盡nn > 2,那麼abc至少有一個為0或者這三個多項式全是常數。

證明

Snyder (2000)給出了以下關於Mason-Stothers定理的初等證明:[4]

第一步、a + b + c = 0這條件表示說W(a, b) = ab′ − abW(b, c)以及W(c, a)朗斯基行列式全數相等,設其共通值為W

第二步、abc這三個導數至少有一個不是消失的(Vanishing)及abc這兩點表示說W不等於零。

像例如說,若W = 0,那麼ab′ = ab,故a可除盡a(而這是因為ab彼此互質),因此a′ = 0,而這是因為在a非常數的狀況下,有deg a > deg a之故。

第三步、W同時可被(a, a′)(b, b′)以及(c, c′)這三組最大公因數除盡。由於這些多項式彼此互質之故,因此W可被其乘積除盡;且因W不等於零之故,因此有

deg (a, a′) + deg (b, b′) + deg (c, c′) ≤ deg W

第四步、將上式以下列不等式取代:

deg (a, a′) ≥ deg a − (a相異的根的數量)
deg (b, b′) ≥ deg b − (b相異的根的數量)
deg (c, c′) ≥ deg c − (c相異的根的數量)

(其中根取自某個代數閉包) 且因為

deg W ≤ deg a + deg b − 1

之故,因此有

deg c ≤ (abc相異的根的數量) − 1

而這正是所要證明的。

推廣

這定理有一個將多項式環以函數域取代的自然推廣,該推廣如下:

k是一個特徵為零的代數閉域,設C/k是一個幾何虧格英语Geometric genusg射影簇英语Projective variety,並設

 

為一個C並滿足 的有理函數,並設SC(k)中包含ab所有零點和極點的集合,那麼有

 

其中函數在k(C)的次數是相應映射從C映至P^1的次數。而一個不同且較短的證明在同年由J. H. Silverman英语Joseph H. Silverman發表。[5]

此外還有一個推廣,這推廣由J. F. Voloch英语José Felipe Voloch[6]W. D. Brownawell英语W. Dale BrownawellD. W. Masser英语David Masser等人獨立發現,[7]此推廣給出了在ai的子集沒有一個是k─線性獨立的狀況下,有n個變數的S單位等式a1 + a2 + ... + an = 1的上界,他們證明了下式:

 

參考資料

  1. ^ Stothers, W. W., Polynomial identities and hauptmoduln, Quarterly J. Math. Oxford, 2, 1981, 32: 349–370, doi:10.1093/qmath/32.3.349 .
  2. ^ Mason, R. C., Diophantine Equations over Function Fields, London Mathematical Society Lecture Note Series 96, Cambridge, England: Cambridge University Press, 1984 .
  3. ^ Lang, Serge. Algebra. New York, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 2002: 194. ISBN 0-387-95385-X. 
  4. ^ Snyder, Noah, An alternate proof of Mason's theorem (PDF), Elemente der Mathematik, 2000, 55 (3): 93–94 [2023-12-21], MR 1781918, doi:10.1007/s000170050074 , (原始内容存档 (PDF)于2015-09-06) .
  5. ^ Silverman, J. H., The S-unit equation over function fields, Proc. Camb. Philos. Soc., 1984, 95: 3–4 
  6. ^ Voloch, J. F., Diagonal equations over function fields, Bol. Soc. Bras. Mat., 1985, 16: 29–39 
  7. ^ Brownawell, W. D.; Masser, D. W., Vanishing sums in function fields, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1986, 100: 427–434 

外部連結