最短路径快速算法
最短路径快速算法（英語：Shortest Path Faster Algorithm (SPFA)），国际上一般认为是带有队列优化的Bellman-Ford 算法，一般仅在中国大陆被称为SPFA，是一个用于求解有向带权图单源最短路径的算法。这一算法在随机的稀疏图上表现出色，并且适用于带有负边权的图。[1] 然而SPFA在最坏情况的时间复杂度与 Bellman-Ford 算法相同，因此在非负边权的图中使用堆优化的Dijkstra 算法效率可能优于SPFA。[2] SPFA算法首先在1959年由Edward F. Moore作为广度优先搜索的扩展发表[3]，相同算法在1994年由段凡丁重新发现。[4]
算法
给定一个有向带权图 和一个源点 ，SPFA算法可以计算从 到图中每个节点 的最短路径。其基本思路与 Bellman-Ford 算法相同，即每个节点都被用作用于松弛其相邻节点的备选节点。但相较于 Bellman-Ford 算法，SPFA算法的先进之处在于它并不盲目地尝试所有节点，而是维护一个备选的节点队列，并且仅有节点被松弛后才会将其放入队列中。整个流程不断重复，直至没有节点可以被松弛。
下面是这个算法的伪代码。[5]这里的 是一个备选节点的先进先出队列， 是边 的权值。
procedure Shortest-Path-Faster-Algorithm(G, s) 1 for each vertex v ≠ s in V(G) 2 d(v) := ∞ 3 d(s) := 0 4 offer s into Q 5 while Q is not empty 6 u := poll Q 7 for each edge (u, v) in E(G) 8 if d(u) + w(u, v) < d(v) then 9 d(v) := d(u) + w(u, v) 10 if v is not in Q then 11 offer v into Q
对于无向图，将每条无向边视作两条有向边以采用 SPFA 算法。
最坏情况下的性能
下面是一种触发该算法低性能表现的数据构造方式。假设要求从节点1到节点 的最短路径。对于整数 ，考虑添加边 并令其权为一个随机的小数字（于是最短路应为1-2-...- ），同时随机添加 条其他的权较大的边。在这种情况下，SPFA算法的性能表现将会非常低下。[1]
SPFA算法本质上依然被认为是Bellman-Ford算法的一个特例，因此一般认为SPFA算法的最差复杂度是 ，其中 为点数， 为边数。[1]
NOI2018中，出题人使用特殊构造图卡到SPFA算法的最坏情况，并在讲题时在幻灯片上打出关于“SPFA它死了”的字样，导致现今很多中国大陆OI题目都会构造特殊数据卡掉SPFA，于是关于SPFA已死的说法广泛流传于中国大陆。[原創研究？]
优化技巧
SPFA算法的性能很大程度上取决于用于松弛其他节点的备选节点的顺序。事实上，如果 是一个优先队列，则这个算法将很类似于Dijkstra 算法。然而尽管这一算法中并没有用到优先队列，仍有多种可用的技巧可以用来提升队列的质量，借此能够提高平均性能（但仍无法提高最坏情况下的性能）。其中，最著名的两种技巧通过重新调整 中元素的顺序从而使得更靠近源点的节点能够被更早地处理。因此一旦实现了这两种技巧， 将不再是一个先进先出队列，而更像一个链表或双端队列。
距离小者优先 （Small Label First(SLF)）（由Bertsekas在Networks, 第23期, 1993, P703-P709中最先提出)。在伪代码的第十一行，将总是把 压入队列尾端修改为比较 和 ，并且在 较小时将 压入队列的头端。这一技巧的伪代码如下（这部分代码插入在上面的伪代码的第十一行后）：
procedure Small-Label-First(G, Q)
if d(back(Q)) < d(front(Q)) then
u := pop back of Q
push u into front of Q
距离大者置后 （Large Label Last(LLL)）（由Bertsekas、Guerriero、与Musmanno在JOTA, 第88期, 1996, 页297-320最先提出)。在伪代码的第十一行，我们更新队列以确保队列头端的节点的距离总小于平均，并且任何距离大于平均的节点都将被移到队列尾端。伪代码如下：
procedure Large-Label-Last(G, Q)
x := average of d(v) for all v in Q
while d(front(Q)) > x
u := pop front of Q
push u to back of Q
参考文献
- ^ 1.0 1.1 1.2 About the so-called SPFA algorithm. [2018-05-25]. （原始内容存档于2020-11-17）.
- ^ SPFA算法 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- ^ Moore, Edward F. Proceedings of the International Symposium on the Theory of Switching. Harvard University Press: 285–292. 1959.
|contribution=被忽略 (帮助) SPFA is Moore's “Algorithm D”. - ^ Duan, Fanding, 关于最短路径的SPFA快速算法, 西南交通大学学报 [Journal of Southwest Jiaotong University], 1994, 29 (2): 207–212 [2018-05-25], （原始内容存档于2019-04-25）
- ^ 存档副本. [2018-05-25]. （原始内容存档于2021-01-16）.
扩展阅读
- 夏正冬; 卜天明; 张居阳. SPFA算法的分析及改进. 《计算机科学》. 2014, 41 (6): 180–184 [2020-11-17]. （原始内容存档于2020-12-08）.