User:用户名永远已存在/分裂四元数

分裂四元数乘法

×	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	-1	k	−j
j	j	−k	1	i
k	k	j	i	1

在抽象代数中，分裂四元数（split-quaternions）或反四元数（coquaternions）是一种四维的结合代数的元素，由James Cockle在1849年引入，当时称为反四元数。 类似于汉密尔顿1843年引入的四元数 ，它们组成了一个四维的实向量空间,且有乘法运算。 与四元数不同，分裂四元数包含非平凡的零因子、幂零元和{{Tsl|en|Idempotent_(ring_theory)|幂等元}。（例如， ${1 \over 2}(1+j)$ 是幂等的零因子，而$i-j$ 是幂零元。)作为一种数学结构，分裂四元数形成了域代数，且与2 × 2的实矩阵同构。

集合 $\left\{1,i,j,k\right\}$组成一个基。 这些元素的积由

$ij=k=-ji$,

$jk=-i=-kj$,

$ki=j=-ik$,

$i^{2}=-1$,

$j^{2}=+1$,

$k^{2}=+1$

给出。因此$ijk=1$。 由以上定义可得，集合$\left\{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\right\}$在分裂四元数乘法的定义下是一个群，与二面体群$D_{4}$同构，称为正方形的对称群。

分裂四元数$q=w+xi+yj+zk$的共轭$q^{*}=w-xi-yj-zk$。

由于其基向量的反交换性，分裂四元数与其共轭的积由其迷向二次型

$N(q)=qq^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}$

给出。

给定两个反四元数$p$和$q$，有$N(pq)=N(p)N(q)$，意味着$N$ 是可合成的二次型。 其上的代数是一种合成代数，$N$ 是其范数。 任何满足$q\neq 0$，$N(q)=0$的反四元数q称为零向量（Null vector而非Zero vector)，它的存在意味着反四元数形成"分裂的合成代数"，因此反四元数也被称为分裂四元数。

当范数非零时，$q$有倒数，即 $q^{*} \over N(q)$. 集合

$U=\left\{q:qq^{*}\neq 0\right\}$

是单位元的集合。 全体分裂四元数的集合$\mathbb {P}$组成环 $(\mathbb {P} ,+,\cdot )$ ，其单位群为$(U,\cdot )$。全体$N(q)=1$的分裂四元数组成一个非紧致的拓扑群 $SU(1,1)$，且与$SL(2,\mathbb {R} )$同构（见下）。

历史上讲，分裂四元数早于凯莱的矩阵代数；分裂四元数(及四元数和双复数)引发了对线性代数的深入研究。

矩阵表示

令$q=w+xi+yj+zk$，考虑普通复数$u=w+xi$, $v=y+zi$，它们的共轭复数为$u=w+xi$, $v=y+zi$。然后

${\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}$

将$q$表示为矩阵环，其中的分裂四元数的乘法与矩阵乘法的行为相同。例如，这个矩阵的行列式是

$uu^{*}-vv^{*}=qq^{*}$

减号的出现将反四元数与使用了加号的四元数$\mathbb {H}$区分开来。双曲几何中，庞加莱圆盘模型上范数为1的分裂四元数代表多重引导的使用是代数最重要的运用之一。

除了复矩阵表示，另一种线性表示将反四元数与2×2实矩阵联系起来。这种同构可以明确如下：首先注意到积

${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$

左边每个因子的平方是单位矩阵，而右边的平方是单位矩阵的负数。此外，注意这三个矩阵，连同单位矩阵，构成了$M(2,\mathbb {R} )$的基。可以使上述矩阵乘积对应于反四元数环中的$jk=-i$。然后，对于任意矩阵有一个双射

${\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\leftrightarrow q={\frac {(a+d)+(c-b)i+(b+c)j+(a-d)k}{2}},$

这实际上形成了环同构。此外，计算各项的平方和表明$qq^{*}=ad-bc$，矩阵的行列式。因此，反四元数的单位拟球与$SL(2,\mathbb {R} )=\{g\in M(2,\mathbb {R} ):\det g=1\}$群同构，因此与$SU(1,1)$也群同构，后者可以从上面的复表示中得到。

例如，用2×2实矩阵表示双曲运动群，见Karzel和Kist。

在这两种线性表示中，范数由行列式给出。由于行列式是乘法映射，两个反四元数积的范数等于范数的积。这样反四元数就形成了合成代数。作为实数域上的代数，它是仅有的七个这样的代数之一。

由双曲复数生成

Kevin McCrimon展示了如何按照L. E. Dickson和Adrian Albert为$\mathbb {C}$、$\mathbb {H}$和$\mathbb {O}$给出的除法构造所有的合成代数。实际上，他给出了real-split的doubled product的乘法法则

$(a,b)(c,d)\ =\ (ac+d^{*}b,\ da+bc^{*})$

如前所述，双共轭 $(a,b)^{*}\ =\ (a^{*},-b),$ 因此

$N(a,b)\ =\ (a,b)(a,b)^{*}\ =\ (aa^{*}-bb^{*},0).$

如果a和b是双曲复数，分裂四元数$q=(a,b)=((w+zj),(y+xj))$那么

$N(q)=aa^{*}-bb^{*}=w^{2}-z^{2}-(y^{2}-x^{2})=w^{2}+x^{2}-z^{2}-y^{2}$.

性质

圆E在平面 z =0中。



J 的元素是+1的平方根。

I的元素是−1的平方根。

可以通过$\mathbb {P}$的子空间$\{zi+xj+yk:x,y,z\in \mathbb {R} \}$来了解其子代数。

令

$r(\theta )=j\cos \theta +k\sin \theta$

参数$z$和$r(\theta )$是此子空间中圆柱坐标系的基。参数$\theta$表示方位角。接下来令a表示任意实数，并考虑反四元数

$p(a,r)=i\sinh a+r\cosh a$

$v(a,r)=i\cosh a+r\sinh a$

这正是Alexander Macfarlane和Carmody的等边双曲面坐标。

接下来，在环的向量子空间中构造三个基础集合:

$E=\{r\in \mathbb {P} :r=r(\theta ),0\leq \theta <2\pi \}$

$J=\{p(a,r)\in \mathbb {P} :a\in \mathbb {R} ,r\in E\}$, 单叶双曲面

$I=\{v(a,r)\in \mathbb {P} :a\in \mathbb {R} ,r\in E\}$, 双叶双曲面

现在很容易验证

$\{q\in \mathbb {P} :q^{2}=1\}=J\cup \{1,-1\}$

及

$\{q\in \mathbb {P} :q^{2}=-1\}=I$

这些集合相等意味着当$p\in J$时，平面

$\{x+yp:x,y\in \mathbb {R} \}=D_{p}$

是$\mathbb {P}$的一个与双曲复数平面同构的子环，就像对$I$中的任意$v$，

$\{x+yv:x,y\in \mathbb {R} \}=C_{v}$

是与普通复平面$\mathbb {C}$同构的$\mathbb {P}$的平面子环。

注意对于所有$r\in E$， $(r+i)^{2}=0=(r-i)^{2}$，因此$r+i$和$r-i$是幂零元。平面$N=\{x+y(r+i):x,y\in \mathbb {R} \}$是$\mathbb {P}$的一个与二元数同构的子环。由于每个反四元数都必须位于某个$D_{p}$、$C_{v}$或$N$平面上，所以这些平面组成了$\mathbb {P}$，例如，单位拟球

$SU(1,1)=\{q\in \mathbb {P} :qq^{*}=1\}$

包含了$\mathbb {P}$的构成平面上的“单位圆”：在$D_{p}$中是一个单位双曲线，在$N$中是一对平行线，而在$C_{v}$中确实是一个圆。

泛正交性

反四元数$q=w+xi+yj+zk$的标量部分为w。

定义 对于非零反四元数$q$和$t$，$q\perp t$当且仅当乘积$qt^{*}$的标量部分为零。

• 对任意的 $v\in I$，如果 $q,t\in C_{v}$，那么$q\perp t$意味着从$0$到$q$和$t$的射线是垂直的。
• 对任意的 $p\in J$，如果 $q,t\in D_{p}$，那么$q\perp t$意味着这两点是双曲正交的。
• 对任意的 $r\in E$ ， $a\in \mathbb {R}$，$p(a,r)$和$v(a,r)$满足 $q\perp t$。
• 如果$u$是反四元数环中的一个单位元，那么$q\perp t$意味着$qu\perp tu$。

证明：因向量外积的反交换性，$(tu)^{*}=u^{*}t^{*}$，因此$(qu)(tu)^{*}=(uu^{*})q(t^{*})$。