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当圆的直径为1时,其周长便是π

圆周率是一个数学常数,通常以字母π表示。在欧几里得几何中,它表示任何一个周长直径之比。π是一个无理数,因此它的小数展开式永远不会循环或穷尽。π也是一个超越数,即它不是任何整系数代数方程的根。在十进制中,圆周率的近似值约为:

数学家威廉·琼斯首先在1707年从希腊文“周长”(περίμετρος)一词中提取出字母π,用来表示圆周率。随后莱昂哈德·欧拉于1737年将其推广[1]。π是数学物理学中最重要的常数之一,大量的科学工程学公式中都用到了π。纵观数学历史,曾经有大量的数学家为精确计算π,或了解其本质做出了贡献。圆周率本身的魅力也因此延伸到了非数学的文化领域中。

基本特征

定义

 
周长=π× 直径

欧几里得几何中,圆周率被定义为一个周长直径的比值[2]。这是一个与直径大小无关的常数,即对于任何一个圆,总有下述成立:

 

同样,圆周率也可以定义为一个圆的面积半径平方的比值,即:

 

上述定义仅限于欧几里得几何。因为在非欧几何中,圆周率可能会大于或小于通常值。例如,在转盘圆周率佯谬中,得到了周长与直径之比大于π的结果[3]。由于这些问题,数学家有时更愿意使用脱离几何学的定义方式。例如在分析学里,π可以严格地定义为满足sin(x) = 0的最小正实数x[4]。这一定义与上述方式是等价的。

无理性与超越性

 
化圓為方:求作一正方形,使其面积等于一给定的面积。1882年林德曼证明了此命题无法用尺规作图完成。

π是一个无理数,即它不能被写成两个整数之比。这一性质最早由九世纪阿拉伯数学家花剌子密提出[5]。这一命题的证明由约翰·海因里希·兰伯特在1768年完成[6]。到了20世纪,数学家们找到了更多只需积分知识即可完成的证明。其中伊萬·尼雲提出的一个证法广为流传[7][8]

π也是一个超越数,即它不是任何一个整系数代数方程的根[9]。它的证明由德国数学家费迪南·冯·林德曼于1882年给出。由此可以推出一个重要的结果:π不是規矩數。这意味着使用尺规作图完成化圓為方的过程是不可能的。此后,德国数学家果尔丹在1893年将这一证明化简为了初等证明[10]

小数表示

历史

[11][12][13]

各种各样的
基本

   

延伸
其他

圓周率  
自然對數的底  
虛數單位  
無限大  

相关内容

参考文献

  1. ^ 圆周率的来历. 
  2. ^ 圆周率、圆的面积. 杨老师在线. 
  3. ^ 刘宇晖. 转盘佯谬分析 (PDF). 
  4. ^ (英文)Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis 3e. McGraw-Hill. 1976: 183 [1953]. ISBN 0-07-054235-X. 
  5. ^ (英文)Glimpses in the history of a great number: Pi in Arabic mathematicsby Mustafa Mawaldi
  6. ^ (英文)Lambert, Johann Heinrich, Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques, Histoire de l'Académie, XVII (Berlin), 1761, XVII: 265–322 (1768) 
  7. ^ (英文)Niven, Ivan. A simple proof that π is irrational (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 1947, 53 (6): 509 [2007-11-04]. doi:10.1090/S0002-9904-1947-08821-2. 
  8. ^ (英文)Richter, Helmut. Pi Is Irrational. Leibniz Rechenzentrum. 1999-07-28 [2007-11-04]. 
  9. ^ (英文)Mayer, Steve. The Transcendence of π. [2007-11-04]. 
  10. ^ 陈仁政. 4.3 超越数时期对π的认识. 《说不尽的π》. 科学出版社. ISBN 978-7-03-014635-9. Mathematische Annalen, 1893, Vol43上 
  11. ^ (英文)The Number Pi in the Bible. 
  12. ^ 圆周率π的计算历程. 中国科学院自动化研究所. 
  13. ^ 陈仁政. 第二章:圆周率的名称. 《说不尽的π》. 科学出版社. ISBN 978-7-03-014635-9. 

外部链接